Momenten inersia

traagheidsmoment materiaal

Er zijn twee objecten, waarvan er één een kleine massa heeft en de andere een grotere massa. Welk object is gemakkelijker te bewegen als er met dezelfde kracht op wordt geduwd? Het blijkt dat objecten met een kleinere massa gemakkelijker te bewegen zijn dan objecten met een grotere massa. De grootte van de massa van een object bepaalt dus de grootte van de versnelling wanneer er een kracht op wordt uitgeoefend. Als bij een rechtlijnige beweging de massa van een object bepaalt of een object gemakkelijk of moeilijk te bewegen (versnellen) is, dan bepaalt bij een roterende beweging het traagheidsmoment van een object of een object gemakkelijk of moeilijk te bewegen is.

deeltje
Beschouw een roterend deeltje. Aan een deeltje met massa m wordt een kracht F gegeven, waardoor het deeltje roteert om de rotatieas O. Het deeltje bevindt zich op een afstand r van de rotatieas. Aanvankelijk is het deeltje in rust (v = 0). Nadat het door de kracht F in beweging is gebracht, roteert het deeltje met een bepaalde snelheid, waardoor het een tangentiële versnelling (a tan) ondervindt.
De relatie tussen kracht (F), massa (m) en tangentiële versnelling (a tan) van een deeltje wordt uitgedrukt door de vergelijking:
Het deeltje roteert, waardoor het een hoekversnelling ondervindt. De relatie tussen tangentiële versnelling en hoekversnelling wordt uitgedrukt door de vergelijking:
Vervang de tangentiële versnelling (a tan) in vergelijking 3 door de tangentiële versnelling (a tan) in vergelijking 4.
Vermenigvuldig de linker- en rechterkant met r:
rF is het moment van kracht en mr² (waarbij het traagheidsmoment van deeltje I is). Vergelijking 5 beschrijft het verband tussen het moment van kracht, het traagheidsmoment en de hoekversnelling van een roterend deeltje. Vergelijking 5 is de tweede wet van Newton voor een roterend deeltje.
I is het product van de massa van het deeltje (m) en het kwadraat van de afstand van het deeltje tot de rotatieas (r).²).
Informatie :
I = traagheidsmoment van het deeltje, m = massa van het deeltje, r = afstand tussen het deeltje en de rotatieas
Vergelijking 6 wordt gebruikt om het traagheidsmoment van een roterend deeltje te bepalen.
Om de uitleg over het traagheidsmoment van deeltjes beter te begrijpen, kunt u het volgende doen: Bestudeer voorbeelden van problemen met het traagheidsmoment van deeltjes.

Homogeen star lichaam
Een star lichaam is opgebouwd uit vele deeltjes die over het hele lichaam verspreid zijn. Het moment van een star lichaam is de som van alle momenten van elk deeltje waaruit het starre lichaam is opgebouwd.
Om het moment I van een star object te bepalen, wordt het object bekeken terwijl het roteert, omdat de positie van de rotatieas de waarde van het moment beïnvloedt. Naast de positie van de rotatieas is het moment I van een deeltje ook afhankelijk van de massa van het deeltje (m) en het kwadraat van de afstand van het deeltje tot de rotatieas (r).²De massa van alle deeltjes waaruit een object bestaat, is gelijk aan de massa van het object zelf. Het probleem is echter dat de afstand van elk deeltje tot de rotatieas varieert.
Beschouw de afleiding van de formule voor een dunne ring met straal R en massa M. Als de rotatieas zich in het middelpunt van de ring bevindt, dan bevinden alle deeltjes waaruit de ring bestaat zich op een afstand r van de rotatieas. Het moment I van de dunne ring is gelijk aan de som van de momenten van alle deeltjes waaruit de ring bestaat.
Elk deeltje waaruit de dunne ring bestaat, bevindt zich op een afstand r van de rotatieas, zodat r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
Formule voor een dunne ring:
I = MR²
Informatie :
I = traagheidsmoment van de dunne ring, M = massa van de dunne ring, R = straal van de dunne ring
Wat als de rotatieas zich niet in het midden van de ring bevindt? Als de rotatieas zich niet in het midden van de ring bevindt, kan de formule voor de dunne ring niet worden afgeleid met behulp van de bovenstaande methode, omdat de afstand van elk deeltje tot de rotatieas varieert.

Formule voor een homogeen star lichaam
Hieronder volgen formules voor verschillende homogene starre lichamen.

Contoh soal

1. Vragen voor het nationale SMA/MA-examen van 2017

Let goed op de volgende tabel!

De objecten P, Q en R zijn met elkaar verbonden door een massaloze staaf. De grootte van het traagheidsmoment van het systeem ten opzichte van een as loodrecht op het vlak door de as van object P is…

Discussie

Het is bekend:

Gevraagd: Traagheidsmoment van het systeem

Jawab:

traagheidsmoment van object Q:

I _Q = mr ² = (0,5)(10 ² ) = (0,5)(100) = 50 kg m ²

Traagheidsmoment van het object R:

I _R = mr ² = (3)(6 ² ) = (3)(36) = 108 kg m ²

Traagheidsmoment van object P:

De rotatieas loopt door de as van object P, zodat r = 0.

Traagheidsmoment van het systeem:

I = 50 kg m ² + 108 kg m ²

I = 158 kg m ²