प्रोजेक्टाइल-गति

प्रक्षेपण गति र समाधानका साथ नमूना समस्याहरूको बारेमा लेख

सुरुवाती वेग (v)_o) र प्रारम्भिक वेगको घटक (v_ox र v_oy)

एउटा वस्तु जसको प्याराबोलिक चालहरूमा सधैं प्रारम्भिक गति हुन्छ। प्याराबोलिक गति तेर्सो र ठाडो दिशाहरूमा चालहरूको संयोजन भएकोले, प्रारम्भिक वेगमा पनि तेर्सो र ठाडो घटकहरू हुन्छन्।

यदि वस्तु चित्र १ र ३ मा जस्तै प्याराबोलिक रूपमा सर्छ भने तेर्सो दिशा (v _{ox ) मा प्रारम्भिक वेग र ठाडो दिशा (v oy} ) मा प्रारम्भिक वेग समीकरण प्रयोग गरेर गणना गरिन्छ:

v _गोरु = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

यदि चित्र २ को रूपमा प्याराबोलिक गतिमा रहेको वस्तु हो भने v _o = v _ox (v _oy = 0)

वेग (v)_x र v_y) र स्थिति (x र y)

निश्चित समय अन्तरालमा तेर्सो र ठाडो दिशाहरूमा गति समीकरण प्रयोग गरेर गणना गरिन्छ:

v _x = v _ox = स्थिर ( एकसमान रेखीय गति )

v _y = v _oy + gt वा v _y ² = v _oy ² + 2 gh (मुक्त-पतन गति)

निश्चित समय अन्तरालमा तेर्सो (x) र ठाडो (y) दिशामा वस्तुहरूको स्थिति समीकरण प्रयोग गरेर गणना गरिन्छ:

x = v _गोरु t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ^२

वेग (v) र स्थिति (h) को परिणाम

निर्दिष्ट समय अन्तरालमा परिणामस्वरूप वेग समीकरण प्रयोग गरेर गणना गरिन्छ:

निश्चित समय अन्तरालमा वस्तुहरूको दिशा समीकरण प्रयोग गरेर गणना गरिन्छ:

नोट:

१. प्याराबोलिक गतिको तेर्सो घटकलाई एकरूप रेखीय गति मानिन्छ, त्यसैले vox = vx सधैं स्थिर हुन्छ।

२. प्याराबोलिक गतिको ठाडो घटकलाई फ्री-फल गतिको रूपमा हेरिन्छ, त्यसैले यदि वस्तु प्याराबोलिक सर्छ भने, जस्तै चित्र १ र ३, अधिकतम उचाइमा वस्तुको वेगको ठाडो घटक शून्य हुन्छ (v _{y = ०)। यदि तपाईंले अधिकतम उचाइमा मार्बललाई माथितिर फ्याँक्नुभयो भने, वस्तु तलतिर फर्कनु अघि एक क्षणको लागि (v y} = ०) आराम गर्छ । त्यसकारण, अधिकतम उचाइमा प्याराबोलिक सार्ने वस्तुको गति = v _x = v _ox

३. यदि वस्तुले चित्र २ मा देखाइए अनुसार प्याराबोलिक गति चलाउँछ भने, प्याराबोलिक गतिको ठाडो घटकलाई फ्रि-फल गतिको रूपमा हेरिन्छ। यदि वस्तु चित्र १ र ३ को रूपमा प्याराबोलिक रूपमा चल्छ भने प्याराबोलिक गतिको ठाडो घटकलाई माथितिर ठाडो गतिको रूपमा हेरिन्छ)।

नमुना समस्याहरू:

१. गोली तेर्सो दिशामा २० मिटर/सेकेन्डको सुरुवाती गतिमा प्रहार गरिन्छ। यदि बन्दुक जमिनबाट ५ मिटर माथि छ भने, निर्धारण गर्नुहोस्:

(a) हावामा समय

(b) अधिकतम उचाइ

(c) तेर्सो दूरी

(घ) जमिनमा ठोक्किँदा गोलीको गति

समाधान:

तेर्सो दिशामा गतिलाई एकरूप रेखीय गति जस्तै विश्लेषण गरिन्छ, जबकि ठाडो दिशामा गतिलाई फ्री-फल गति जस्तै विश्लेषण गरिन्छ।

ज्ञात:

v _ox = २० m/s, v _oy = ० m/s, h = ५ m, g = ९.८ m/s ^२

क) हावामा समय

समाधान भनेको मुक्त पतन गतिमा समय अन्तराल (t) निर्धारण गर्नु जस्तै हो।

ज्ञात: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ^२

चाहियो: t

ख) अधिकतम उचाइ

अधिकतम उचाइ = घन्टा = ५ मिटर।

ग) तेर्सो दूरी (घ)

समाधान भनेको एकरूप रेखीय गतिमा दूरी निर्धारण गर्नु जस्तै हो।

ज्ञात: v _ox = २० m/s, t = १ सेकेन्ड

चाहियो: घ

घ = वीटी

d = (२० मिटर/सेकेन्ड)(१ सेकेन्ड) = २० मिटर

घ) गोली जमिनमा लाग्दा गति

v _tx = v _गोरु = ५२.२ मिटर/सेकेन्ड

v _ty = ?

पहिले, हामी ठाडो दिशा (vty) मा अन्तिम गति गणना गर्छौं। समाधान भनेको फ्री-फल गतिको अन्तिम गति निर्धारण गर्नु जस्तै हो।

ज्ञात: v _oy = 0, g = 9.8 m/s ² , t = 1 s

चाहियो: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = ०

v _t = gt

v _t = (९.८ m/s ^२ )(१ सेकेन्ड)

v _t = ९.८ मिटर/सेकेन्ड

जमिनमा ठोक्किँदा गोलीको गति:

गोली को दिशा:

किनभने v _tx धनात्मक x-अक्षको दिशामा (दायाँतिर) छ र v _ty ऋणात्मक y-अक्षको दिशामा (तलतिर) छ,

जमिनमा ठोक्किँदा गोलीको दिशा धनात्मक x-अक्षको -२६.१ ^{डिग्री हुन्छ (तलको चित्र हेर्नुहोस्)।}

२. तोपले ६० मिटर/सेकेन्डको गतिमा तेर्सो दिशामा ३० ^{डिग्रीको गतिमा गोली प्रहार गर्यो। निर्धारण गर्नुहोस्:}

(a) अधिकतम उचाइ

(ख) अधिकतम उचाइमा गोली चलाउने गति

(c) हावामा समय

(d) तेर्सो दूरी

(ङ) जमिनमा ठोक्किँदा गोलीको गति। मानौं जमिन समतल छ। 🙂

समाधान:

तेर्सो दिशामा गतिलाई एकरूप रेखीय गति जस्तै विश्लेषण गरिन्छ, ठाडो दिशामा गतिलाई माथितिरको ठाडो गति जस्तै विश्लेषण गरिन्छ।

ज्ञात: v _o = ६० m/s, theta = ३० ^o ।

ज्ञात तथ्याङ्कको आधारमा, हामी पहिले प्रारम्भिक गति (v _o ) को ठाडो (v _oy ) र तेर्सो (v _{ox ) घटकहरू गणना गर्छौं।}

a) अधिकतम उचाइ (h)

समाधान भनेको माथितिरको ठाडो गतिमा अधिकतम उचाइ निर्धारण गर्नु जस्तै हो।

ज्ञात:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

क) अधिकतम उचाइ (h)

समाधान भनेको ठाडो माथिल्लो गतिमा अधिकतम उचाइ निर्धारण गर्नु जस्तै हो।

ज्ञात:

v _oy = 30 m/s (यो गोली को सुरुवाती गति हो)

v _ty = ० m/s (अधिकतम उचाइमा, गोलीको ठाडो वेग = ० m/s। यो अन्तिम गति हो।)

g = – ९.८ मिटर/सेकेन्ड ^२

चाहियो: h

v _t ² = v _o ² + 2 घ

० ^२ = ३० ^२ + २ (-९.८) घन्टा

० = ९०० – १९.६ घन्टा

९०० = १९.६ घन्टा

घन्टा = ९०० / १९.६

h = ४५.९ मिटर

गोलीले हासिल गरेको अधिकतम उचाइ = ४५.९ मिटर।

ख) अधिकतम उचाइमा गति

अधिकतम उचाइमा, ठाडो दिशामा गति = ० मिटर/सेकेन्ड। अधिकतम उचाइमा, तेर्सो दिशामा एक मात्र गति हुन्छ। अधिकतम उचाइमा तेर्सो दिशामा गति तेर्सो दिशामा प्रारम्भिक वेग बराबर हुन्छ, जुन ५२.२ मिटर/सेकेन्ड हो। तेर्सो दिशामा गतिको दिशा सधैं स्थिर हुन्छ, अर्थात्, धनात्मक x-अक्षको दिशामा (यदि माथिको रेखाचित्रमा वस्तुको गति वर्णन गरिएको छ भने)

ग) हावामा समय

समाधान भनेको ठाडो माथितिरको गतिको छलफलमा समय अन्तराल (t) निर्धारण गर्नु जस्तै हो।

ज्ञात:

v _oy = 30 m/s (यो ठाडो दिशामा गोलीको प्रारम्भिक गति हो)

g = – ९.८ मिटर/सेकेन्ड ^२

h = ० मिटर (जब गोली जमिनमा फर्कन्छ, ठाडो दिशामा गोलीको विस्थापन = ० मिटर)

चाहियो: t

h = भोट ₊ ½ gt ^२

० = (३०) t + ½ (-९.८ m/s ^२ ) t ^२

० = (३०) ट – ४.९ ट ^२

(३०) t = ४.९ t ^२

३० = ४.९ टन

t = ३० / ४.९

t = ६.१२ सेकेन्ड

हावामा समय = ६.१२ सेकेन्ड

घ) तेर्सो दूरी (घ)

समाधान भनेको एकरूप रेखीय गतिमा दूरी (d) निर्धारण गर्नु जस्तै हो।

ज्ञात:

v _गोरु = ५२.२ मिटर/सेकेन्ड

t = ६.१२ सेकेन्ड

चाहियो: घ

d = vt = (५२.२ m/s)(६.१२ सेकेन्ड) = ३१९.५ m

ङ) गोली जमिनमा लाग्दा गति

v _tx = v _गोरु = ५२.२ मिटर/सेकेन्ड

v _ty = ?

_{पहिले, हामी ठाडो दिशा (v ty} ) मा अन्तिम वेग गणना गर्छौं । समाधान भनेको ठाडो माथितिरको गतिमा अन्तिम गति निर्धारण गर्नु हो।

चाहियो: v _oy = ३० m/s, g = -९.८ m/s ^२ , t = ६.१२ सेकेन्ड

चाहियो: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (३०) + (-९.८)(६.१२)

v _ty = (३०) – (६०)

v _ty = -३० m/s

ऋणात्मक चिन्हले अन्तिम वेगको दिशा तलतिर छ भन्ने संकेत गर्छ। ध्यान दिनुहोस् कि ठाडो दिशामा प्रारम्भिक वेग ठाडो दिशामा अन्तिम वेग बराबर हुन्छ।

जमिनमा ठोक्किँदा गोलीको गति:

गोली को दिशा:

किनकि v _tx धनात्मक x-अक्षको दिशामा (दायाँतिर) छ र vty ऋणात्मक y-अक्षको दिशामा (तलतिर) छ,

जमिनमा ठोक्किँदा गोलीको गतिको दिशा धनात्मक x-अक्षको बारेमा -३० ^{डिग्री हुन्छ (तलको चित्र हेर्नुहोस्)।}

३. ५० मिटर अग्लो भवनको किनारबाट १० मिटर/सेकेन्डको सुरुवाती गतिमा बल फ्याँकिन्छ। यदि बललाई तेर्सो दिशामा ३० डिग्रीमा फ्याँकिन्छ भने, निर्धारण गर्नुहोस्:

(क) बल जमिनमा पुग्ने समय अन्तराल

(ख) जमिनमा ठोक्किँदा बलको गति

(ग) बलले पुग्न सक्ने तेर्सो दूरी भवनको किनारबाट मापन गरिन्छ।

(d) बलले पुग्ने अधिकतम उचाइ

समाधान:

पहिले, हामी प्रारम्भिक वेग (v _o ) को ठाडो घटक (v _oy ) र तेर्सो घटक (v _{ox ) गणना गर्छौं।}

v _गोरु = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin ३० ^o = (१० m/s)(०.५) = ५ m/s

क) बल जमिनमा पुग्ने समय अन्तराल

समाधान भनेको ठाडो माथितिरको गतिमा समय अन्तराल (t) निर्धारण गर्नु जस्तै हो। माथितिर दिशा भएको भेक्टरको परिमाणलाई धनात्मक मानिन्छ, तलतिर दिशा भएको भेक्टरको परिमाणलाई ऋणात्मक मानिन्छ। बल फ्याँकिएको स्थानलाई सन्दर्भ बिन्दुको रूपमा चयन गरिन्छ। h ऋणात्मक हुन्छ किनभने जमिनको सतह सन्दर्भ बिन्दुभन्दा तल हुन्छ, g ऋणात्मक हुन्छ किनभने गुरुत्वाकर्षणको प्रवेगको दिशा तलतिर हुन्छ।

ज्ञात:

v _oy = ५ m/s, h = – ५ m, g = – ९.८ m/s ^२

चाहियो: t

h = भोट ₊ ½ gt ^२

-५ = ५ टन + ½ (-९.८) टन ^२

-५ = ५ टन – ४.९ टन ^२

-४.९ ट ^२ + ५ ट + ५ = ०

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्:

हावामा समय = बल जमिनमा पुग्न फ्याँकिएको समयदेखिको समय अन्तराल = १.६४ सेकेन्ड।

ख) जमिनको सतहमा ठोक्किँदा बलको गति

v _tx = v _गोरु = v _x = ८.७ m/s

v _ty = ?

पहिले, हामी ठाडो दिशामा अन्तिम गति गणना गर्छौं (v _ty )। समाधान ठाडो माथितिरको गतिमा अन्तिम गति निर्धारण गर्नु जस्तै हो।

ज्ञात: v _oy = ५ m/s, g = -९.८ m/s ^२ , t = १.६४ सेकेन्ड

चाहियो: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = ५ + (-९.८)(१.६४)

v _ty = ५ – १६

v _ty = -११ m/s

ऋणात्मक चिन्हले अन्तिम वेगको दिशा तलतिर रहेको जनाउँछ।

जमिनमा ठोक्किँदा गोलीको गति:

गोलीको गतिको दिशा = जमिनमा ठोक्किँदा गोलीको गतिको दिशा:

जमिनमा ठोक्किँदा गोलीको गति:

किनभने vtx धनात्मक x-अक्षको दिशामा (दायाँतिर) छ र vty ऋणात्मक y-अक्षको दिशामा (तलतिर) छ,

जमिनमा ठोक्किँदा गोलीको दिशा धनात्मक x-अक्षको बारेमा -५२° हुन्छ (तलको चित्र हेर्नुहोस्)।

ग) बलले पुग्न सक्ने तेर्सो दूरी भवनको किनारबाट मापन गरिन्छ।

समाधान भनेको एकरूप रेखीय गतिमा यात्रा गरेको दूरी (d) निर्धारण गर्नु जस्तै हो।

ज्ञात: t = १.६४ सेकेन्ड, v _x = ८.७ m/s

चाहियो: घ

d = vt = (८.७ m/s)(१.६४ s) = १४.३ m

घ) बलले पुग्ने अधिकतम उचाइ

ज्ञात: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( अधिकतम उचाइमा वेगको ठाडो घटक = 0 m/s), g = -9.8 m/s ² ।

चाहियो: h

v _ty ^२ = v _oy ^२ + २ घ

० मि/सेकेन्ड = (५ मि/सेकेन्ड) ^२ + २(-९.८ मि/सेकेन्ड ^२ )(घण्टा)

० मि/सेकेन्ड = २५ (मि/सेकेन्ड) ^२ + (-१९.६ मि/सेकेन्ड ^२ )(घण्टा)

२५ (मी/सेकेन्ड) ^२ = -१९.६ मी/सेकेन्ड २ (घण्टा)

घन्टा = २५ (मी/सेकेन्ड) ^२ : -१९.६ मी/सेकेन्ड ^२ = १.३ मिटर

बलले पुग्ने अधिकतम उचाइ = भवनको माथिबाट १.३ मिटर = १.३ मिटर + ५० मिटर = जमिनको सतहबाट ५१.३ मिटर माथि।