कणहरूको लागि जडताको क्षण - समस्या र समाधानहरू

कणहरूको लागि जडताको क्षण - समस्या र समाधानहरू

१. तलको चित्रमा देखाइए अनुसार, रडद्वारा जोडिएका दुई बलहरू। रडको पिण्डलाई बेवास्ता गर्नुहोस्। बल P को पिण्ड ६०० ग्राम र बल Q को पिण्ड ४०० ग्राम छ। AB को बारेमा प्रणालीको जडत्वको क्षण कति हो ?

ज्ञात:

परिक्रमाको अक्ष AB हो।

m _p = ६०० ग्राम = ०.६ किलोग्राम, m _q = ४०० ग्राम = ०.४ किलोग्राम

r _p = २० सेमी = ०.२ मिटर, r _q = ५० सेमी = ०.५ मिटर

चाहिएको: प्रणालीको जडताको क्षण

समाधान:

I = m _p r _p ² + m _q r _q ²

I = (०.६ किलोग्राम)(०.२ मिटर) ^२ + (०.४ किलोग्राम)(०.५ मिटर) ^२

I = (०.६ किलोग्राम)(०.०४ मिटर ^२ ) + (०.४ किलोग्राम)(०.२५ मिटर ^२ )

I = ०.०२४ किलोग्राम m ^२ + ०.१ किलोग्राम m ^२

I = ०.०८ किलोग्राम m ^२

२. २ किलोग्राम द्रव्यमान भएको AB को रड A बिन्दुको वरिपरि घुमेको छ भने, रडको जडत्वको क्षण ८ किलोग्राम m ^२ हुन्छ । यदि O बिन्दुको वरिपरि घुमाइएको छ भने (AO = OB), रडको जडत्वको क्षण कति हुन्छ?

ज्ञात:

रड AB (m) को पिण्ड = 2 kg

यदि बिन्दु A को वरिपरि घुमाइयो भने परिक्रमाको त्रिज्या (r) = AB को लम्बाइ = r हुन्छ भने जडत्वको क्षण (I) = 8 kg m ²

चाहिएको: यदि बिन्दु O को वरिपरि घुमाइयो भने परिक्रमाको त्रिज्या (r) = AO को लम्बाइ = OB को लम्बाइ = 1/2 r हुन्छ भने रडको जडत्वको क्षण कति हुन्छ?

समाधान:

म = श्री ^२

८ किलोग्राम m ^२ = (२ किलोग्राम) r ^२

८ मिटर ^२ = (२) र ^२

r ^२ = ८ मिटर ^२ / २

r ^२ = ४ मिटर ^२

r = २ मिटर

यदि O बिन्दुको वरिपरि घुमाइयो भने ½ r = 1 मिटर हुन्छ, तब जडत्वको क्षण:

I = श्री ^२ = (२ किलोग्राम)(१ मिटर) ^२ = (२ किलोग्राम)(१ मिटर ^२ ) = २ किलोग्राम मिटर ^२

३. तलको चित्रमा देखाइए अनुसार रडद्वारा जोडिएका दुई बलहरू। रडको पिण्डलाई बेवास्ता गर्नुहोस्। प्रणालीको जडत्वको क्षण कति हो?

ज्ञात:

बलको पिण्ड A (m_A) = २०० ग्राम = ०.२ किलोग्राम

बल B (m _B ) को पिण्ड = २०० ग्राम = ०.२ किलोग्राम

बल A र परिक्रमाको अक्ष (r _A ) बीचको दूरी = 0

बल B र परिक्रमाको अक्ष (r _B ) बीचको दूरी = २५ सेमी = ०.२५ मिटर

चाहियो: प्रणालीको जडताको क्षण

समाधान:

बल A को जडत्वको क्षण:

I _A = (m _A )(r _A ^२ ) = (०.२)(०) ^२ = ०

बल B को जडत्वको क्षण:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

प्रणालीको जडताको क्षण:

I = I _A + I _B = ० + ०.०२५ = ०.०२५ किलोग्राम m ^२ = २५ x १० ^-३ किलोग्राम m ^२

४. तलको चित्रमा देखाइएका फरक-फरक पिण्ड भएका चार कणहरू। तेर्सो रेखा P वरिपरि प्रणालीको जडत्वको क्षण निर्धारण गर्नुहोस्।

समाधान

परिक्रमाको अक्ष तेर्सो रेखा P हो।

ज्ञात:

कण A को पिण्ड (m _A ) = m

_{कण B (m B} ) को पिण्ड = 2m

_{कण C ( mC} ) को पिण्ड = 3m

कणहरूको पास D (m _D ) = 4m

कण A र परिक्रमाको अक्ष (r _A ) बीचको दूरी = b

कण B र परिक्रमाको अक्ष (r _B ) बीचको दूरी = b

कण C र परिक्रमाको अक्ष (r _C ) बीचको दूरी = 2b

कण D र परिक्रमाको अक्ष (r _D ) बीचको दूरी = 2b

चाहिएको: तेर्सो रेखा P वरिपरि प्रणालीको जडताको क्षण

समाधान:

I = m _A r _A ² + m _B r _B ² + m _C r _C ² + m _D r _D ²

I = (m) (b) ² + (2m) (b) ² + (3m) (2b) ² + (4m) (2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = ३१ मेगाबाइट ^२

५. एउटा रडद्वारा जोडिएका चार कणहरू। रडको पिण्डलाई बेवास्ता गर्नुहोस्। तलको चित्रमा देखाइए अनुसार, m ₁ र m ₂ कणहरू मार्फत परिक्रमाको अक्षको वरिपरि जडत्वको क्षण निर्धारण गर्नुहोस्।

ज्ञात

कण १ (मि) को पिण्ड₁) = १/४ किलोग्राम

कण ४ (m _४ ) को पिण्ड = १/४ किलोग्राम

कण ४ (m _४ ) को पिण्ड = १/४ किलोग्राम

कण ४ (m _४ ) को पिण्ड = १/४ किलोग्राम

कण २ र परिक्रमाको अक्ष (r _२ ) बीचको दूरी = ०

कण २ र परिक्रमाको अक्ष (r _२ ) बीचको दूरी = ०

कण ४ र परिक्रमा अक्ष (r _४ ) बीचको दूरी = १० सेमी = १०/१०० मिटर = १/१० मिटर

कण ४ र परिक्रमा अक्ष (r _४ ) बीचको दूरी = १० सेमी = १०/१०० मिटर = १/१० मिटर

चाहिएको: जडताको क्षण

समाधान:

म = m _१ r _१ ^२ + m _२ r _२ ^२ + m _३ r _३ ^२ + m _४ r _४ ^२

म = (१/४)(०) ^२ + (१/२)(०) ^२ + (१/४)(१/१०) ^२ + (१/४)(१/१०) ^२

I = ० + ० + (१/४)(१/१००) + (१/४)(१/१००)

म = १/४०० + १/४००

म = ५/१०

म = १/२०० किलोग्राम। ^{मि २}

1. कणको लागि जडत्वको क्षण कति हुन्छ?
   • उत्तर: द्रव्यमानको एकल कणको लागि $m$ दूरीमा $r$ परिक्रमा अक्षबाट, यसको जडत्वको क्षणबाट $I$ द्वारा दिइएको छ I=m×r².
2. जडत्वको क्षणलाई किन प्रायः द्रव्यमानको "घुम्ने एनालग" भनिन्छ?
   • उत्तर: जसरी पिण्ड भनेको कुनै वस्तुको परिक्रमण गतिमा हुने परिवर्तनहरू (न्यूटनको दोस्रो नियमको कारण) प्रति प्रतिरोधको मापन हो, त्यसरी नै जडत्वको क्षण पनि वस्तुको परिक्रमण गतिमा हुने परिवर्तनहरू प्रति प्रतिरोधको मापन हो।
3. कणको परिक्रमा अक्षबाट दूरी परिवर्तन गर्दा यसको जडत्वको क्षणलाई कसरी असर गर्छ?
   • उत्तर: जडत्वको क्षण परिक्रमा अक्षबाट दूरीको वर्गसँग समानुपातिक हुन्छ। यदि तपाईंले दूरी दोब्बर गर्नुभयो भने, जडत्वको क्षण चार गुणाले बढ्नेछ।
4. दूरीको वर्ग किन (r) छ?²) सूत्रमा केवल दूरीको सट्टा जडताको क्षणको लागि प्रयोग गरिएको छ?
   • उत्तर: दूरीको वर्ग परिक्रमा गर्दा गतिज ऊर्जाले काम गर्ने तरिकाको कारणले प्रयोग गरिन्छ। परिक्रमा गतिमा, वस्तुको प्रत्येक कणले यसको द्रव्यमान र अक्षबाट यसको दूरी वर्ग दुवैको आधारमा परिक्रमा गतिज ऊर्जामा योगदान गर्दछ।
5. अक्षबाट दूरी स्थिर राख्दै कणको द्रव्यमान तीन गुणा बढाइयो भने त्यसको जडत्वको क्षण कसरी परिवर्तन हुन्छ?
   • उत्तर: यदि पिण्डलाई तीन गुणा गरियो र दूरी स्थिर राखियो भने, जडत्वको क्षण पनि तीन गुणा हुनेछ किनभने यो पिण्डसँग प्रत्यक्ष समानुपातिक छ।
6. के कुनै कणमा शून्य जडत्वको क्षण हुन सक्छ? यदि छ भने, कुन अवस्थामा?
   • उत्तर: हो, यदि कुनै कण परिक्रमा अक्षमा सिधै अवस्थित छ भने, यसको दूरी शून्य जडत्वको क्षण हुनेछ, जसले गर्दा $r$ शून्य बराबर अक्षबाट।
7. एउटै पिण्ड र आकार भएका फरक-फरक वस्तुहरू फरक-फरक अक्षमा घुम्दा किन फरक-फरक जडत्वका क्षणहरू हुन्छन्?
   • उत्तर: परिक्रमा अक्ष वरिपरि द्रव्यमानको वितरणले जडत्वको क्षण निर्धारण गर्दछ। दुई वस्तुहरूको द्रव्यमान र आकार समान भए पनि, परिक्रमा अक्षको सापेक्षमा तिनीहरूको द्रव्यमान वितरण फरक हुन सक्छ, जसले गर्दा जडत्वको क्षण फरक हुन सक्छ।
8. जडत्वको क्षण स्केलर मात्रा हो कि भेक्टर मात्रा?
   • उत्तर: जडत्वको क्षण एक स्केलर परिमाण हो। यद्यपि, जटिल आकारहरू र परिक्रमाको धेरै अक्षहरू भएका कठोर पिण्डहरूको लागि, यसलाई टेन्सरद्वारा प्रतिनिधित्व गरिन्छ।
9. यदि दुई कणहरू छन् भने, प्रत्येकको पिण्ड $m$, दूरीमा अवस्थित छन् r_1​ र r₂​ परिक्रमा अक्षबाट, जडत्वको संयुक्त क्षण कति हुन्छ?
   • उत्तर: जडत्वको क्षण अलग-अलग कणहरूको लागि योगफल हो। यसरी, जडत्वको संयुक्त क्षण I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. जडत्वको क्षण कोणीय गतिको संरक्षणसँग कसरी सम्बन्धित छ?

    • उत्तर: कोणीय गतिमान $L$ जडताको क्षणको उत्पादन हो $I$ र कोणीय वेग $\omega$, समीकरण द्वारा प्रतिनिधित्व गरिएको $L=I\times \omega$। यदि कुनै बाह्य टर्कले प्रणालीमा काम गर्दैन भने, कोणीय गति स्थिर रहनेछ। यसको अर्थ यदि जडत्वको क्षण परिवर्तन हुन्छ (जस्तै फिगर स्केटरले आफ्नो हातमा तान्दा), उत्पादन स्थिर राख्न कोणीय गति समायोजन हुनुपर्छ।