ऊर्जा समानीकरण प्रमेय सैद्धान्तिक रूपमा क्लर्क म्याक्सवेलले तथ्याङ्कीय यान्त्रिकी प्रयोग गरेर निकालेका थिए। प्रयोग मार्फत कुनै प्रमाण नभएकोले यसलाई प्रमेय भनिन्छ। ऊर्जा विभाजन भनेको ऊर्जाको समान वितरण हो।
KE = ग्यास अणुहरूको औसत अनुवादात्मक गतिज ऊर्जा (जूल)
k = बोल्ट्जम्यानको स्थिरांक = १.३८ x १० -२३ J/K
T = आदर्श ग्याँस अणु (केल्भिन) को निरपेक्ष तापक्रम
अनुवादात्मक गतिज ऊर्जा अनुवादात्मक गतिबाट प्राप्त हुन्छ जसमा तीन वेग घटकहरू हुन्छन्, अर्थात् x-अक्ष, y-अक्ष, र z-अक्षमा वेग घटक। यस गतिका तीन घटकहरू छन्, जसमा माथिको समीकरणमा संख्या 3 हुन्छ। गतिको प्रत्येक घटकलाई स्वतन्त्रताको डिग्री भनिन्छ। किनभने यसमा गतिका तीन घटकहरू हुन्छन्, अनुवादात्मक गतिज ऊर्जामा 3 डिग्री स्वतन्त्रता हुन्छ।
ऊर्जा समीकरण प्रमेयले वास्तविक ऊर्जालाई स्वतन्त्रताको सबै डिग्रीमा समान रूपमा विभाजित गर्नुपर्छ भनी बताउँछ। यसरी, स्वतन्त्रताको प्रत्येक डिग्रीको लागि औसत ऊर्जा १/२ kT हुन्छ।
मोनाटोमिक ग्यास अणुहरू
मोनाटोमिक ग्यास अणुहरूले मात्र अनुवाद गति गर्छन् ताकि मोनाटोमिक ग्यास अणुहरूमा ३ डिग्री स्वतन्त्रता हुन्छ।
प्रत्येक मोनाटोमिक ग्यास अणु को औसत गतिज ऊर्जा हो:
3 (1/2 kT) = 3/2 kT = 3/2 nRT।
मोनाटोमिक ग्यास अणुहरूको ताप क्षमता:
C = ३/२ R = ३/२ (८.३१५ J / मोल K) = १२.४७ J/Kg K
डायटोमिक ग्यास अणुहरू
अनुवाद गतिको अतिरिक्त, डायटोमिक ग्यास अणुहरूले पनि परिक्रमा र कम्पन गर्छन्। अनुवाद गतिको लागि स्वतन्त्रताको डिग्रीको संख्या = ३। परिक्रमा गति र कम्पनको लागि स्वतन्त्रताको डिग्री कति हो?
तीन परिक्रमा अक्षहरू छन्, अर्थात् x, y, र Z-अक्षहरू। x-अक्षमा परिक्रमा गति गणना हुँदैन किनभने दुई परमाणुहरू परिक्रमा अक्षसँग मेल खान्छन्। x-अक्षसँग मेल खाँदा, दुई परमाणुहरूको जडत्वको क्षण = ०। यसरी, परिक्रमा गतिको लागि स्वतन्त्रताको डिग्रीहरूको संख्या = २।
प्रत्येक डायटोमिक ग्यास अणुको औसत ऊर्जा निम्न हो:
3 (1/2 kT) + 2 (1/2 kT) = 5/2 kT = 5/2 n R T।
डायटोमिक ग्यास अणुहरूको ताप क्षमता:
C = ५/२ R = ५/२ (८.३१५ J / मोल K) = २०.७९ J / किलोग्राम K
सैद्धान्तिक रूपमा प्राप्त गरिएको आणविक ताप क्षमता प्रयोगहरूबाट प्राप्त डायटोमिक ग्यास अणुहरूको ताप क्षमता भन्दा ठूलो छ।
कम्पन गति गर्दा, डायटोमिक ग्यास अणुहरूमा दुई प्रकारको ऊर्जा हुन्छ, अर्थात् गतिज ऊर्जा र लोचदार सम्भाव्य ऊर्जा। यसरी, कम्पन गतिको लागि स्वतन्त्रताको डिग्रीको संख्या = २।
प्रत्येक डायटोमिक ग्यास अणुको औसत ऊर्जा निम्न हो:
3 (1/2 kT) + 2 (1/2 kT) + 2 (1/2 kT) = 7/2 kT = 7/2 n R T।
डायटोमिक ग्यास अणुहरूको ताप क्षमता:
C = ५/२ R = ५/२ (८.३१५ J / मोल K) = २०.७९ J / किलोग्राम K
डायटोमिक ग्यास अणुहरूको ताप क्षमताको मानमा कम्पन गतिको प्रभाव तापक्रम दायरा (T) मा पनि निर्भर गर्दछ। पहिले गरिएका प्रयोगहरू धेरै फराकिलो नभएको तापक्रम दायरामा हुन्छन्। फराकिलो तापक्रम दायरामा गरिएका हालैका प्रयोगहरूले ग्यास आणविक ताप क्षमताको मान तापक्रम दायरामा पनि निर्भर गर्दछ भनेर देखाउँछन्। यो समस्यालाई राम्रोसँग बुझ्नको लागि, विभिन्न तापक्रममा हाइड्रोजन ग्यास अणुहरूको ताप क्षमताको भिन्नताको समीक्षा गरौं।
हाइड्रोजन (H₂)) मा डायटोमिक ग्यास समावेश छ। छेउको चित्रले विभिन्न तापक्रममा हाइड्रोजन ग्यास अणुहरूको ताप क्षमताको भिन्नता देखाउँछ। आणविक ताप क्षमता मान 5/2 R = 20.79 J/Kg हो। K लगभग 250 K देखि 750 K को तापक्रम दायरामा मात्र हुन्छ। 250 K भन्दा कम, हाइड्रोजन ग्यास अणुहरूको ताप क्षमता नियमित रूपमा घट्छ जबसम्म तिनीहरू 3/2 R = 12.47 J/Kg. K सम्म पुग्दैनन्। यसको विपरीत, 750 K माथि, ग्यास अणुहरूको ताप क्षमता आवधिक रूपमा बढ्छ जबसम्म तिनीहरू 7/2 R = 29.1 J/Kg. K सम्म पुग्दैनन्।
यस तथ्यको आधारमा, हामी भन्न सक्छौं कि कम तापक्रममा, ग्यास अणुहरूले केवल अनुवाद गति मात्र गर्छन्। तापक्रम बढेपछि, नयाँ ग्यास अणुहरूले परिक्रमण गति बनाउँछन्। उच्च तापक्रममा, ग्यास अणुहरू एकअर्कासँग ठोक्किन्छन् जसले गर्दा परमाणुहरू कम्पन हुन्छन्। त्यसैले, यी तीन प्रकारका गतिहरू चरणबद्ध रूपमा गरिन्छन्, पहिले केवल अनुवाद गति (कम तापक्रम), त्यसपछि अनुवाद + परिक्रमण (मध्यम तापक्रम) र अन्तिम अनुवाद + परिक्रमण + कम्पन (उच्च तापक्रम)। ग्यास अणुहरू एकअर्कासँग ठोक्किएमा मात्र कम्पन गति हुन्छ।
यस्ता घटनाहरू हाइड्रोजन ग्यासमा मात्र हुँदैनन्, अन्य ग्यासहरूमा पनि हुन्छन्। वैज्ञानिकहरूले गरेका प्रयोगहरूबाट, ग्यास अणुहरूको ताप क्षमता पनि तापक्रमसँगै परिवर्तन हुने गर्छ। हुने परिवर्तनहरू हाइड्रोजन ग्यासले अनुभव गरेको जस्तै हुन्छन्, तर प्रत्येक ग्यासमा संरचना फरक हुने भएकाले (परमाणुहरूको संख्या र प्रकार फरक हुन्छन्), ताप क्षमतामा परिवर्तनहरू फरक तापक्रम दायराहरूमा पनि हुन्छन्।
ऊर्जा समीकरण प्रमेयले बताउँछ कि स्वतन्त्रताको प्रत्येक डिग्रीको लागि कुल ऊर्जा समान रूपमा विभाजित हुनुपर्छ। ग्यास अणुहरूद्वारा प्राप्त अतिरिक्त ऊर्जा प्रत्येक डिग्रीको स्वतन्त्रताको लागि समान रूपमा वितरित हुँदैन तर क्रमशः विभाजित हुन्छ। यसबाहेक, हामीले सैद्धान्तिक रूपमा ग्यासको गतिज सिद्धान्तको आधारमा प्राप्त गरेको ग्यासको आणविक ताप क्षमताको समीकरण,
अणुको ताप क्षमता केवल R मा निर्भर गर्दछ (प्रत्येक डिग्री स्वतन्त्रताको लागि 1/2 R)। आणविक ताप क्षमता पनि तापक्रम (T) बाट प्रभावित हुन्छ।
यो निष्कर्षमा पुग्न सकिन्छ, पहिलो, इक्विपार्टेशन प्रमेय शास्त्रीय सांख्यिकीय मेकानिक्सबाट लिइएको हो, जुन न्यूटोनियन मेकानिक्सको नियममा आधारित छ। दोस्रो, ग्यास अणुहरूको चाल व्याख्या गर्न हामीले प्रयोग गर्ने ग्यासको गतिज सिद्धान्त पनि न्यूटोनियन मेकानिक्सको नियममा आधारित छ। ऊर्जा इक्विपार्टेशन प्रमेय र ग्यासहरूको गतिज सिद्धान्त उल्लङ्घन गरिएको हुनाले, यो निष्कर्षमा पुग्न सकिन्छ कि न्यूटनको मेकानिक्सको नियमले परमाणु वा आणविक स्तरमा हुने चालहरू व्याख्या गर्न असमर्थ छ। अर्को शब्दमा, न्यूटोनियन मेकानिक्स वा शास्त्रीय मेकानिक्सले ठूलो पदार्थको चाललाई मात्र वर्णन गर्न सक्छ।
