भेक्टरहरूको थप

भेक्टरहरूको थपको बारेमा लेख

१. भेक्टर र स्केलरको मात्रा

आधारभूत र व्युत्पन्न परिमाणहरूको अतिरिक्त, भौतिक परिमाणहरूलाई अझै पनि दुई अन्य प्रकारहरूमा विभाजन गर्न सकिन्छ, अर्थात् स्केलर परिमाणहरू र भेक्टर परिमाणहरू। द्रव्यमान, दूरी, समय र आयतन जस्ता परिमाणहरू स्केलर परिमाणहरू हुन्, जसको परिमाण मात्र हुन्छ तर दिशा हुँदैन। जबकि विस्थापन, वेग, त्वरण, र बल जस्ता परिमाणहरू भेक्टर परिमाणहरू हुन्, जसको परिमाण हुन्छ र दिशा पनि हुन्छ।

a. s क्यालर र भेक्टर मात्रा बीचको भिन्नता

यदि तपाईंले बलको पिण्ड ४०० ग्राम छ भन्नुहुन्छ भने, यो कथन बलको पिण्ड जान्नको लागि पर्याप्त छ। बलको पिण्ड पत्ता लगाउन तपाईंलाई दिशाको आवश्यकता पर्दैन। त्यस्तै समय, तापक्रम, आयतन, घनत्व, आदिमा पनि। धेरै भौतिक परिमाणहरू छन् जुन परिमाणमा मात्र व्यक्त गर्न सकिँदैन। यदि तपाईंले बच्चा १०० मिटरसम्म सर्छ भन्नुहुन्छ भने, यो कथन पर्याप्त छैन। तपाईंले सोध्न सक्नुहुन्छ, ऊ कहाँ सर्यो? के यो उत्तर, दक्षिण, पूर्व, वा पश्चिम हो? त्यस्तै गरी, यदि तपाईंले भन्नुभयो कि तपाईंले २०० उत्तरको बलले टेबल धकेल्नुहुन्छ।

तपाईं कहाँ गाडी चलाउनुहुन्छ? खैर, यस्ता परिमाणहरूलाई भेक्टर परिमाण भनिन्छ, जसलाई परिमाण र दिशाको व्याख्या आवश्यक पर्दछ। भेक्टर परिमाणका उदाहरणहरू विस्थापन, त्वरण, आवेग, गति , आदि हुन्। ती परिमाणहरूसँग सम्बन्धित विषयहरू अध्ययन गर्दा तपाईंले यसलाई अझ स्पष्ट रूपमा बुझ्न सक्नुहुन्छ।

b. भेक्टर कोर्नुहोस्

भेक्टरलाई तीरले संकेत गर्छ। तीर सधैं यसरी कोरिन्छ कि यसले भेक्टरको दिशामा संकेत गर्छ। तीरको लम्बाइलाई भेक्टरको परिमाणको रूपमा वर्णन गरिएको छ। उदाहरणका लागि, २ N परिमाण भएको बल (F) को भेक्टरको चित्रमा जसको दिशा उत्तरपूर्व वा x-अक्षको वरिपरि ४५ ^{o छ।}

ग. भेक्टरको मात्रा लेख्ने नियमहरू

भेक्टर लेख्दा, यदि तपाईंले हस्तलेखन प्रयोग गर्नुहुन्छ भने, भेक्टरको प्रतीक सामान्यतया ठूला अक्षरहरू प्रयोग गरेर इटालिकमा लेखिन्छ, र यसको माथि तीर थप्नु पर्छ। छापिएका पुस्तकहरूको लागि, भेक्टर प्रतीकहरू ठूला अक्षरहरूमा बोल्डमा लेखिन्छन्, उदाहरणका लागि, F। भेक्टरको परिमाणको लागि, यदि हामीले हस्तलेखन प्रयोग गर्छौं भने भेक्टरको परिमाण लेखिन्छ, उदाहरणका लागि, |F|। छापिएका पुस्तकहरूको लागि, भेक्टरको परिमाण इटालिकमा लेखिन्छ, उदाहरणका लागि , F।

२. भेक्टरहरूको थप—ग्राफिकल विधिहरू

ग्राफिक रूपमा भेक्टरहरू थप्ने धेरै तरिकाहरू छन्, जसमा टेल-टु-टिप विधि र समानान्तर चतुर्भुज विधि समावेश छ।

a. भेक्टरहरू थप्ने टेल-टु-टिप विधि

भेक्टर A र B ज्ञात छन्। भेक्टर A = ३ सेमीले x-अक्ष (पूर्व तर्फ) सँग मेल खान्छ। भेक्टर B = २ सेमीले x-अक्ष (उत्तरपूर्व तर्फ) मा ३० ^o को कोण बनाउँछ । टेल-टु-टिप विधि प्रयोग गरेर A र B लाई ग्राफिक रूपमा थप्नुहोस्। a) R = A + B b) R = A – B

परिणामस्वरूप भेक्टर (R) को परिमाण रुलर प्रयोग गरेर मापन गरिन्छ। परिणामस्वरूप भेक्टरको दिशा प्रोट्रेक्टर प्रयोग गरेर मापन गरिन्छ।

ज्ञात भेक्टरहरू A, B, र C। भेक्टर A = 3 सेमी x-अक्ष (पूर्व तिर) सँग मिल्छ। भेक्टर B = 2 सेमीले x-अक्ष (उत्तरपूर्व तिर) मा 30 ^{o को कोण बनाउँछ। भेक्टर C = 1 सेमीले x-अक्ष (उत्तरपूर्व तिर) मा 60 o} को कोण बनाउँछ । टेल-टु-टिप विधि प्रयोग गरेर A, B, र C लाई ग्राफिक रूपमा थप्नुहोस्।

क) R = A + B + C

ख) R = A – B – C

परिणामस्वरूप भेक्टर (R) लाई रुलर प्रयोग गरेर मापन गरिन्छ। परिणामस्वरूप भेक्टरको दिशा प्रोट्रेक्टर प्रयोग गरेर मापन गरिन्छ।

b. समानान्तरचतुर्भुज विधि

ज्ञात भेक्टरहरू A, B, र C। भेक्टर A = 3 सेमी x-अक्ष (पूर्व तिर) सँग मिल्छ। भेक्टर B = 2 सेमीले x-अक्ष (उत्तरपूर्व तिर) मा 30 ^{o को कोण बनाउँछ। भेक्टर C = 1 सेमीले x-अक्ष (उत्तरपूर्व तिर) मा 60 o} को कोण बनाउँछ । समानान्तर चतुर्भुज प्रयोग गरेर A, B, र C लाई ग्राफिक रूपमा थप्नुहोस्।

क) R = A + B

ख) R = A – B

ग) R = A + B + C

घ) R = A – B – C

परिणामस्वरूप भेक्टर (R) लाई रुलर प्रयोग गरेर मापन गरिन्छ। परिणामस्वरूप भेक्टरको दिशा प्रोट्रेक्टर प्रयोग गरेर मापन गरिन्छ।

३. भेक्टरहरूको जोड - aविश्लेषणात्मक विधि

ग्राफिकल विधिद्वारा परिणाम भेक्टरको परिमाण र दिशा निर्धारण गर्नु एउटा दृष्टिकोण हो। परिणामहरूको शुद्धता स्केल कोर्ने र पढ्ने तपाईंको शुद्धता र शुद्धतामा निर्भर गर्दछ। परिणाम भेक्टरको परिमाण र दिशा गणितीय गणनाहरू मार्फत अझ सटीक रूपमा प्राप्त गरिन्छ।

a. कोसाइन नियम प्रयोग गरेर २ भेक्टरहरूको योगफल गणना गर्दै

परिणामस्वरूप भेक्टरको परिमाण निर्धारण गर्ने सूत्र:

परिणामस्वरूप भेक्टरको दिशा निर्धारण गर्ने सूत्र:

C = परिणाम भेक्टर

A = भेक्टर १

B = भेक्टर २

cos ∠(A, B) = भेक्टर A र B द्वारा बनेको कोण

नमुना समस्या १:

F ₁ = 2 N ले x-अक्षको वरिपरि 30 को कोण बनाउँछ, F ₂ = 3 N ले x-अक्षको वरिपरि 60 ^o को कोण बनाउँछ , θ = 30 ^o ।

नमुना समस्या १:

F ₁ = 2 N ले x-अक्षसँग मिल्छ, F ₂ = 3 N ले x-अक्षको वरिपरि 90 ^o को कोण बनाउँछ , θ = 90 ^o ।

ख. कम्पोनेन्टहरूद्वारा भेक्टरहरू थप्दै

तलको चित्रमा देखाइए अनुसार x-अक्षको वरिपरि निश्चित कोण बनाउने भेक्टर F को समीक्षा गर्नुहोस्। F _x र F _y भेक्टर F का घटक भेक्टर हुन्।

घटक भेक्टरको परिमाण सूत्र प्रयोग गरेर निर्धारण गरिन्छ:

F _x = F cos θ

F _y = F पाप θ

दुई भेक्टरहरू F को समीक्षा गर्नुहोस्₁ र एफ₂ जसले तलको चित्रमा देखाइए अनुसार x-अक्षको वरिपरि निश्चित कोण बनाउँछ। F_1x र एफ_1y भेक्टर F का घटकहरू हुन्₁, त्यसैले F_2x र एफ_2y भेक्टर F का घटकहरू हुन्₂.

घटक भेक्टर सूत्र प्रयोग गरेर निर्धारण गरिन्छ:

F_1x = एफ₁ कोस θ

F _१y = F _१ पाप θ

F _२x = F _२ कोस θ

F _१y = F _१ पाप θ

घटक भेक्टरहरू थप्दै:

एफ _x = एफ _१x + एफ _२x

F _y = F _१y + F _२y

परिणामस्वरूप भेक्टर सूत्र प्रयोग गरेर निर्धारण गरिन्छ:

परिणामस्वरूप भेक्टरको दिशा सूत्र प्रयोग गरेर निर्धारण गरिन्छ:

नमुना समस्या १:

२० N परिमाण भएको भेक्टर F को घटकहरू निर्धारण गर्नुहोस् र x-अक्षको वरिपरि ३० ^{o को कोण बनाउनुहोस्।}

F _x = (20 N) (cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

नमुना समस्या १:

F ₁ = 20 N ले x-अक्षको वरिपरि 30 ^o को कोण बनाउँछ र F ₂ = 15 N ले x-अक्षको वरिपरि 180o को कोण बनाउँछ। परिणामस्वरूप भेक्टरको परिमाण र दिशा निर्धारण गर्नुहोस्।

F _३x = (४० N)(कोस ४५ ^o ) = २८ N

एफ _२x = एफ _१ = – १५ एन

F _1y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

F _२y = ०

घटक भेक्टरहरू थप्दै:

F _x = F _१x – F _२x = १७ N – १५ N = २ N

F _y = १० N

परिणामस्वरूप भेक्टर:

F _२ = F _x ^२ + F _y ^२ = २ ^२ + १० ^२ = ४ + १०० = १०४

F = 10.2N

परिणामस्वरूप भेक्टरको दिशा:

θ = tan −15 = x-अक्षको बारेमा 78.7 ^o

नमुना समस्या १:

F₁, एफ_2, र एफ₃ २० उत्तर, ३० उत्तर र ४० उत्तर फरेनहाइट छन्₁ ३१५ को कोण बनाउँछ^o x-अक्षको बारेमा, F₂ ३१५ को कोण बनाउँछ^o x-अक्षको बारेमा, र F₃ ३१५ को कोण बनाउँछ^o x-अक्षको बारेमा। परिणामस्वरूप भेक्टरको परिमाण र दिशा निर्धारण गर्नुहोस्।

F _१x = (२० N)(कोस ६० ^o ) = १० N

F _1y = (20 N) (sin 60 ^o ) = 17 N

F _२x = (३० N)(cos ३० ^o ) = -२६ N

F _2y = (30 N) (sin 30 ^o ) = 15 N

F _३x = (४० N)(कोस ४५ ^o ) = २८ N

F _3y = (40 N) (sin 45 ^o ) = -28 N

घटक भेक्टर थप्दै:

F _x = F _१x – F _२x + F _३x = १० N – २६ N + २८ N = १२ N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

परिणाम भेक्टर:

F ^२ = F _x ^२ + F _y ^२ = १२ ^२ + ४ ^२ = १४४ + १६ = १६०

F = 13N

परिणामस्वरूप भेक्टरको दिशा:

θ = tan ⁻¹ ०.३ = १७ ^o लगभग x-अक्ष