ပြောင်းလဲမှုနှင့် ပေါင်းစပ်မှုစည်းမျဉ်းများ

ပြောင်းလဲမှုနှင့် ပေါင်းစပ်မှုစည်းမျဉ်းများ

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင်၊ အထူးသဖြင့် ဖြစ်နိုင်ခြေနှင့် စာရင်းအင်းဘာသာရပ်များတွင်၊ ဖြစ်ရပ်တစ်ခု ဖြစ်ပေါ်လာနိုင်သည့် "နည်းလမ်းမည်မျှရှိသည်" ဟူသော မေးခွန်းကို ကျွန်ုပ်တို့ မကြာခဏ ကြုံတွေ့ရလေ့ရှိသည်။ ဥပမာ- ပေးထားသော လူအရေအတွက်အတွက် ထိုင်ခုံစီစဉ်မှု မည်မျှရှိသနည်း။ ကျောင်းသားအုပ်စုတစ်စုမှ အဖွဲ့ဝင်များကို နည်းလမ်းမည်မျှဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်သနည်း။ ဤကဲ့သို့သော မေးခွန်းများကို ရေတွက်ခြင်းစည်းမျဉ်းများတွင် အဓိကသဘောတရားနှစ်ခုဖြစ်သည့် permutation နှင့် combination စည်းမျဉ်းများကို အသုံးပြု၍ ဖြေဆိုသည်။ နှစ်ခုစလုံးသည် "နည်းလမ်းအရေအတွက်" နှင့် သက်ဆိုင်သော်လည်း၊ အရေးကြီးသော ကွာခြားချက်မှာ အစီအစဉ်အတိုင်း ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်း ရှိ၊ မရှိတွင် တည်ရှိသည်။

၁။ စာရင်းကောက်စည်းမျဉ်းများ၏ အခြေခံသဘောတရား

permutations နှင့် combinations များအကြောင်း မဆွေးနွေးမီ၊ နားလည်ထားရမည့် အခြေခံအချက်တစ်ခုရှိသည်- enumeration ဆိုသည်မှာ ပေးထားသော condition အစုံမှ ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော outcome အရေအတွက်ကို ရေတွက်သည့် လုပ်ငန်းစဉ်ဖြစ်သည်။ Enumeration ကို သေးငယ်သောကိစ္စများအတွက် ကိုယ်တိုင်ပြုလုပ်နိုင်သော်လည်း၊ ကြီးမားသောကိစ္စများအတွက် ထိရောက်သော formula တစ်ခု လိုအပ်ပါသည်။

စာရင်းကောက်ယူခြင်းတွင် အခြေခံမူနှစ်ခုမှာ-

၁။ ထုတ်ကုန်စည်းမျဉ်း
လုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခုတွင် အဆင့်များစွာပါဝင်ပြီး အဆင့်တစ်ခုစီတွင် ရွေးချယ်စရာများစွာရှိပါက၊ နည်းလမ်းအရေအတွက် စုစုပေါင်းသည် အဆင့်တစ်ခုစီရှိ ရွေးချယ်စရာအရေအတွက်၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။

၂။ ပေါင်းလဒ်စည်းမျဉ်း
ရွေးချယ်မှုတစ်ခုကို အပြန်အလှန် သီးခြားစီ (ထပ်မနေသော) နည်းလမ်းများစွာဖြင့် ပြုလုပ်နိုင်ပါက၊ နည်းလမ်းအရေအတွက် စုစုပေါင်းသည် ထိုနည်းလမ်းများ၏ ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။

အဆင့်ဆင့်ပြောင်းလဲမှုများနှင့် ပေါင်းစပ်မှုများသည် အထူးသဖြင့် အရာဝတ္ထုများကို စီစဉ်ခြင်း သို့မဟုတ် ရွေးချယ်ခြင်း စတင်သည့်အခါတွင် ဤနိယာမ၏ နောက်ထပ်အသုံးချမှုများ ဖြစ်သည်။

၂။ ပြောင်းလဲမှု- အစီအစဉ်အတိုင်း အာရုံစိုက်ခြင်းဖြင့် စီစဉ်ခြင်း

Permutation ဆိုသည်မှာ အစီအစဉ်အရေးကြီးသည့်နေရာတွင် အရာဝတ္ထုများကို စီစဉ်ခြင်း သို့မဟုတ် ရွေးချယ်ခြင်း နည်းလမ်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အစီအစဉ် AB သည် BA နှင့် ကွဲပြားသည်။

က။ မတူညီသော အရာဝတ္ထု n ခု၏ መልእክትများ (အားလုံးစီစဉ်ထားသည်)

အစီအစဉ်တစ်ခုအတွင်း အရာဝတ္ထု n ခုကို စီစဉ်ရန်ရှိပါက အစီအစဉ်အရေအတွက်မှာ-

\[
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1
\]

"!" လက္ခဏာကို factorial လို့ခေါ်ပါတယ်။

ဥပမာ-
စာအုပ် ၄ အုပ်ရှိပါတယ်။ စင်ပေါ်မှာ ဘယ်နှစ်နည်းနဲ့ စီလို့ရလဲ။
\[
၄! = ၄ x ၃ x ၂ x ၁ = ၂၄
\]
ဒါကြောင့် အစီအစဉ် ၂၄ ခု ရှိပါတယ်။

ခ။ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းပြောင်းလဲမှု- n မှ r ကိုရွေးချယ်ခြင်း (အစီအစဉ်ကိုထည့်သွင်းစဉ်းစားသည်)

အရာဝတ္ထု n ခုမှ အရာဝတ္ထု r ခုကို ရွေးချယ်ပြီး စီစဉ်ပါက (အားလုံးကို မဆိုလိုပါ)၊ permutation ဖော်မြူလာမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

\[
P(n,r) = \frac{n!}{(nr)!}
\]

ဥပမာ-
ကျောင်းသား ၆ ဦးအနက်မှ ၃ ဦးကို ဥက္ကဋ္ဌ၊ ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌနှင့် အတွင်းရေးမှူးအဖြစ် ရွေးချယ်မည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နည်းလမ်းမည်မျှဖြင့် လုပ်ဆောင်နိုင်သနည်း။
ဥက္ကဋ္ဌ-ဒု-အတွင်းရေးမှူး ရာထူးကွဲပြားတဲ့အတွက် အစီအစဉ်က အရေးကြီးပါတယ်။
\[
P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!} = 6 \x5 \x4 = 120
\]
နည်းလမ်း ၁၂၀ ရှိပါတယ်။

ဂ။ အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းဖြင့် အဆင့်ဆင့်ပြောင်းလဲခြင်း (ထပ်ခါတလဲလဲ/တူညီခြင်း)

တစ်ခါတစ်ရံတွင် အားလုံးထူးခြားခြင်းမရှိသော အရာဝတ္ထုများ ရှိတတ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ "NIGHT" ဟူသောစကားလုံးတွင် M နှစ်ခုနှင့် A နှစ်ခုပါရှိသည် (သို့မဟုတ် "NIGHT" အတွက်- M ၂ ခုရှိသည်၊ A ၂ ခုရှိသည်? အမှန်တကယ်တွင်၊ "NIGHT" = NIGHT: M=2၊ A=2၊ L=1)။ မတူညီသော အစီအစဉ်အရေအတွက်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်-

\[
\frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \dots}
\]

ဤတွင် \(n\) သည် အရာဝတ္ထုများ၏ စုစုပေါင်းအရေအတွက်ဖြစ်ပြီး \(n_1, n_2\) သည် တူညီသော အရာဝတ္ထုများ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။

ဥပမာ-
“NIGHT” မှာ စာလုံးတွေရဲ့ အစီအစဉ် ဘယ်နှစ်ခုရှိလဲ။
စာလုံးအရေအတွက် \(n=5\)၊ M မှာ ၂ လုံး၊ A မှာ ၂ လုံး၊ L မှာ ၁ လုံး။
\[
\frac{5!}{2!\,2!} = \frac{120}{4} = 30
\]
ဒါကြောင့် အစီအစဉ် ၃၀ ကွဲပြားပါတယ်။

၃။ ပေါင်းစပ်မှု- အမှာစာနှင့်မသက်ဆိုင်ဘဲ ရွေးချယ်ခြင်း

ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် အစီအစဉ်အရေးမကြီးသည့် အရာဝတ္ထုများကို ရွေးချယ်သည့် နည်းလမ်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ A နှင့် B ကိုရွေးချယ်ခြင်းသည် B နှင့် A ကိုရွေးချယ်ခြင်းနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။

ပေါင်းစပ်ဖော်မြူလာသည် အရာဝတ္ထု n ခုမှ r ကို ရွေးချယ်သည်-

\[
C(n,r) = \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(nr)!}
\]

က။ ရိုးရှင်းသော ပေါင်းစပ်မှု၏ ဥပမာ

ဥပမာ-
ကျောင်းသား ၁၀ ယောက်ထဲက ၃ ယောက်ကို ပြိုင်ပွဲဝင်အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် (ရာထူးအတိအကျမပါဘဲ) ရွေးချယ်မှာဖြစ်ပါတယ်။ ဘယ်လိုနည်းလမ်းတွေနဲ့ ရွေးချယ်မှာလဲ။
ရာထူးအဆင့်အတန်းမရှိသောကြောင့် အစီအစဉ်က အရေးမကြီးပါ။
\[
C(10,3)=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\x9\x8}{3\x2\x1}=120
\]
နည်းလမ်း ၁၂၀ ရှိပါတယ်။

ခ။ ပြောင်းလဲမှုများနှင့် ပေါင်းစပ်မှုများအကြား ဆက်နွယ်မှု

ပြောင်းလဲမှုများနှင့် ပေါင်းစပ်မှုများသည် ဆက်စပ်နေကြောင်း သတိပြုပါ။ လူများကို ရွေးချယ်ပြီး စီစဉ်ရန်အတွက်၊ ကျွန်ုပ်တို့ လုပ်ဆောင်နိုင်သည်-

– ဦးစွာ လူများကို ရွေးချယ်ပါ- \(C(n,r)\)
– ထိုလူကို စီစဉ်ပါ- \(r!\)

သောကြောင့်:
\[
P(n,r) = C(n,r) \ximens r!
\]

ဒါက permutation ဟာ အစီအစဉ်ကို ခွဲခြားပေးတာကြောင့် "ပိုကြီး" တယ်ဆိုတာ ပြသပါတယ်။

၄။ ဘယ်လိုဆုံးဖြတ်ရမလဲ- Permutation ဒါမှမဟုတ် Combination ကိုသုံးပါ။

ပြဿနာတစ်ခုကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အရေးကြီးဆုံးခြေလှမ်းမှာ အစီအစဉ်ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားထားခြင်း ရှိ၊ မရှိ သိရှိရန်ဖြစ်သည်။

အောက်ပါအခြေအနေများတွင် permutations ကိုသုံးပါ-
– ရာထူး သို့မဟုတ် ရာထူးအမည် (ဥက္ကဋ္ဌ၊ ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ၊ ၁-၂-၃ နေရာ) ရှိသည်။
- နေရာထိုင်ခင်း စီစဉ်ပေးထားခြင်း၊
- စီစဉ်မှုဆိုင်ရာ ကုဒ် သို့မဟုတ် အစီအစဉ်တစ်ခု ရှိသည်။

အောက်ပါအခြေအနေများတွင် ပေါင်းစပ်အသုံးပြုပါ-
– ရွေးချယ်ထားသော အဖွဲ့ဝင်များကိုသာ
– အစီအစဉ်က ရလဒ်များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ခြင်း မပြုပါ။
- အရေးကြီးတာက သူတို့ရဲ့ ရာထူးမဟုတ်ဘဲ ဘယ်သူ့ကို ရွေးချယ်တင်မြှောက်မလဲဆိုတာပါ။

အမြန် ဥပမာ-
– ကော်မတီတွင် ပါဝင်ရန် လူ ၁၂ ဦးအနက် ၅ ဦးကို ရွေးချယ်ပါ- ပေါင်းစပ်
– ပါဝင်သူ ၁၂ ဦးမှ ပထမ၊ ဒုတိယနှင့် တတိယဆုရှင်များကို ဆုံးဖြတ်ခြင်း- ပါမစ်ရွေးချယ်မှု

၅။ နေ့စဉ်ဘဝတွင် အသုံးချမှုများ၏ ဥပမာများ

လမ်းကြောင်းပြောင်းလဲမှုများနှင့် ပေါင်းစပ်မှုများသည် သင်္ချာစာအုပ်များတွင်သာမက လက်တွေ့အခြေအနေများတွင်ပါ ပေါ်လာသည်-

၁။ စကားဝှက်လုံခြုံရေး (စကားဝှက်/ပင်နံပါတ်)
ထပ်ခါတလဲလဲခွင့်ပြုထားသော ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော ဂဏန်း ၄ လုံးပါ PIN အရေအတွက် (၀–၉) မှာ \(၁၀^၄\) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းစည်းမျဉ်းနှင့် ထပ်ခါတလဲလဲပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ပြောင်းလဲမှုများ၏ အယူအဆနှင့် ဆက်စပ်နေသည်။

၂။ အချိန်ဇယားများ သို့မဟုတ် ထိုင်ခုံများ စီစဉ်ပေးခြင်း
မတူညီသော ရာထူးများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသော ပြောင်းလဲမှုများကို အသုံးပြု၍ တရားဝင်ပွဲများတွင် ထိုင်ခုံနေရာများကို ဆုံးဖြတ်ခြင်း။

၃။ အဖွဲ့ သို့မဟုတ် ကော်မတီ ရွေးချယ်ခြင်း
အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့မှ လူအများအပြားကို ရွေးချယ်ခြင်းသည် ပေါင်းစပ်မှုတစ်ခုဖြစ်သည်၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အစီအစဉ်သည် အရေးမကြီးသောကြောင့် ဖြစ်သည်။

၄။ ကတ်ဂိမ်းများ
ပေါင်းစပ်မှုများကို ဖဲချပ် သို့မဟုတ် အခြားဂိမ်းများတွင် လက်တစ်စုံ၏ ဖြစ်နိုင်ခြေကို တွက်ချက်ရန် မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။

၆။ ရှောင်ရှားရမည့် အဖြစ်များသော အမှားများ

permutation နှင့် combination ပြဿနာများတွင် လုပ်ဆောင်သည့်အခါ မကြာခဏ ဖြစ်ပွားလေ့ရှိသော အမှားအချို့-

– အရေးကြီးသော်လည်း အစီအစဉ်သည် အရေးမကြီးဟု ယူဆခြင်း၊ ဥပမာ ဥက္ကဋ္ဌနှင့် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ရွေးချယ်ခြင်း (၎င်းသည် ပြောင်းလဲခြင်း ဖြစ်သင့်သည်)။
- အက္ခရာများထပ်နေသော စကားလုံးများ ရေးခြင်းကဲ့သို့ တူညီသောအရာဝတ္ထုများကို ပိုင်းခြားရန် မေ့လျော့ခြင်း။
– factorial များ မှားယွင်းစွာ တွက်ချက်ခြင်း၊ အထူးသဖြင့် \(\frac{n!}{(nr)!}\) ပုံစံကို ရိုးရှင်းအောင် ပြုလုပ်သည့်အခါ။

၎င်းကို ကာကွယ်ရန် နည်းလမ်းတစ်ခုမှာ မေးခွန်း၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်ကို ရိုးရှင်းသော စာကြောင်းများဖြင့် ရေးသားခြင်းဖြစ်သည်- “ကျွန်ုပ် ရွေးချယ်ရမလား သို့မဟုတ် စီစဉ်ရမလား” နှင့် “ရာထူးက ရလဒ်တွင် ကွာခြားချက်ဖြစ်စေသလား”။

ပိတ်

ပြောင်းလဲမှုနှင့် ပေါင်းစပ်မှုစည်းမျဉ်းများသည် အခြေအနေအမျိုးမျိုးတွင် ဖြစ်နိုင်ခြေအရေအတွက်ကို တွက်ချက်ရန်အတွက် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သောကိရိယာများဖြစ်သည်။ အစီအစဉ် သို့မဟုတ် အနေအထား အရေးကြီးသည့်အခါ ပြောင်းလဲမှုများကို အသုံးပြုပြီး အစီအစဉ် အရေးမကြီးသည့်အခါ ပေါင်းစပ်မှုများကို အသုံးပြုသည်။ ဤခြားနားချက်ကို နားလည်ခြင်း၊ factorial များကို ကျွမ်းကျင်စွာ ကျွမ်းကျင်ခြင်းနှင့် သင့်လျော်သော ဖော်မြူလာများကို အသုံးချခြင်းဖြင့် ရေတွက်ခြင်းနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေပြဿနာများစွာကို ပိုမိုမြန်ဆန်စွာနှင့် တိကျစွာ ဖြေရှင်းနိုင်ပါသည်။ လက်တွေ့တွင်၊ မှန်ကန်သောနည်းလမ်း—ပြောင်းလဲမှု သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်မှု—ကို ရွေးချယ်နိုင်စွမ်းသည် ဖော်မြူလာများကို မှတ်မိရုံထက် မကြာခဏ ပိုမိုအရေးကြီးပါသည်။