Bahan Pendaraban Titik Menggunakan Komponen Vektor Unit
Kita boleh mengira hasil darab skalar secara langsung jika kita mengetahui komponen x, y dan z bagi vektor A dan B (vektor yang diketahui).
Untuk melakukan hasil darab titik dengan cara ini, pertama sekali kita melakukan hasil darab titik bagi vektor unit, selepas itu kita menyatakan vektor A dan B dalam komponennya, menguraikan hasil darab tersebut dan menggunakan hasil darab vektor unit.
Vektor unit i , j, dan k adalah berserenjang antara satu sama lain, menjadikan pengiraan lebih mudah. Dengan menggunakan persamaan pendaraban skalar yang diperoleh di atas ( AB = AB cos theta ), kita memperoleh:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 o = 0
Sekarang kita menyatakan vektor A dan B dari segi komponennya, menguraikan hasil darabnya dan menggunakan hasil darab vektor unit.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Kerana i . i = j . j = k . k = 1 dan i . j = i . k = j . k = 0, maka:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A. B = A x B x ( 1) + 0 + 0 +
0 + A y By ( 1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Berdasarkan hasil pengiraan ini, dapat disimpulkan bahawa hasil darab skalar atau hasil darab titik bagi dua vektor adalah jumlah hasil darab komponen serupa mereka.
Contoh Soalan 1:
Vektor besar A dan B masing-masing ialah 5 dan 4, seperti yang ditunjukkan dalam gambar di bawah. Sudut yang terbentuk ialah 90oKiralah ia produk titik kedua-dua vektor.
Perbincangan
Sebelum kita mengira hasil darab titik bagi vektor A dan B, kita perlu mengetahui komponen vektor kedua terlebih dahulu.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
Az = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vektor A hanya mempunyai komponen vektor pada paksi-x dan vektor B hanya mempunyai komponen vektor pada paksi-y. Komponen z ialah sifar kerana vektor A dan B berada dalam satah xy.
Sekarang kita kira hasil darab titik antara vektor A dan B menggunakan persamaan hasil darab titik dengan vektor komponen:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A.B = 0
Mari kita bandingkan dengan kaedah pertama
AB = AB kos theta
AB = (4)(5) kos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Hasilnya sama sahaja.
Contoh Soalan 2:
Vektor besar A dan B masing-masing adalah 5 dan 4, seperti yang ditunjukkan dalam gambar di bawah. Kira produk titik kedua-dua vektor, jika sudut yang terbentuk ialah 30o
Perbincangan
Sebelum kita mengira hasil darab titik bagi vektor A dan B, kita perlu mengetahui komponen vektor kedua terlebih dahulu.
Komponen z ialah sifar kerana vektor A dan B berada dalam satah xy.
Sekarang kita kira hasil darab titik antara vektor A dan B menggunakan persamaan hasil darab titik dengan vektor komponen:
Bandingkan dengan kaedah pertama.
