Contoh soalan perbincangan tentang terbitan fungsi algebra
Derivatif dalam kalkulus ialah konsep asas yang digunakan untuk menggambarkan bagaimana sesuatu fungsi berubah, atau kecerunan sesuatu fungsi pada satu titik. Derivatif berguna dalam pelbagai bidang seperti fizik, ekonomi dan kejuruteraan kerana ia memberikan maklumat tentang kadar perubahan. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan beberapa contoh terbitan fungsi algebra dan cara menyelesaikannya.
Contoh 1: Terbitan Fungsi Polinomial
Soalan: Diberi fungsi \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Tentukan terbitan fungsi tersebut!
Penyelesaian:
Menggunakan peraturan asas terbitan untuk fungsi polinomial, iaitu \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), kita akan mengira terbitan setiap sebutan fungsi satu persatu.
\[
\begin{align}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7)
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align}
\]
Jadi, terbitan bagi \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) ialah \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Contoh 2: Terbitan Fungsi dengan Eksponen Pecahan
Soalan: Tentukan terbitan fungsi \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Penyelesaian:
Menggunakan peraturan terbitan yang sama, iaitu \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align}
\]
Jadi, terbitan bagi \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) ialah \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Contoh 3: Terbitan Fungsi Eksponen dan Trigonometri
Soalan: Tentukan terbitan fungsi \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan terbitan ini, kita memerlukan Peraturan Hasil Darab, yang menyatakan \((uv)' = u'v + uv'\). Katakan \( u(x) = e^x \) dan \( v(x) = \sin(x) \), maka:
\[
\begin{align}
u'(x) &= e^x, & \text{kerana terbitan bagi } e^x \text{ ialah } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{kerana terbitan bagi } \sin(x) \text{ ialah } \cos(x).
\end{align}
\]
Menggunakan peraturan terbitan untuk hasil darab:
\[
\begin{align}
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align}
\]
Jadi, terbitan bagi \( h(x) = e^x \sin(x) \) ialah \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Contoh 4: Terbitan Fungsi Menggunakan Peraturan Rantai
Soalan: Tentukan terbitan fungsi \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan terbitan ini, kita memerlukan petua rantai, iaitu \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Katakan \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) dan \( f(u) = u^5 \), maka:
\[
\begin{align}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align}
\]
Menggunakan peraturan rantai:
\[
\begin{align}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align}
\]
Jadi, terbitan bagi \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) ialah \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Contoh 5: Terbitan Fungsi dengan Identiti Trigonometri
Soalan: Tentukan terbitan fungsi \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Penyelesaian:
Kita akan menggunakan peraturan terbitan untuk hasil darab. Katakan \( u(x) = \sin(x) \) dan \( v(x) = \cos(x) \), maka:
\[
\begin{align}
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align}
\]
Menggunakan peraturan terbitan untuk hasil darab:
\[
\begin{align}
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align}
\]
Menggunakan identiti trigonometri \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
Jadi, terbitan bagi \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) ialah \( m'(x) = \cos(2x) \).
Kesimpulannya
Terbitan fungsi algebra merupakan konsep asas dalam kalkulus yang sangat penting dan berguna dalam pelbagai aplikasi. Pelbagai peraturan terbitan, seperti peraturan terbitan asas, peraturan hasil darab, peraturan rantai dan peraturan untuk terbitan trigonometri, semuanya membantu dalam mengira terbitan fungsi yang lebih kompleks. Dengan memahami contoh di atas dan mempraktikkan masalah, kita dapat meningkatkan pemahaman dan kemahiran kita dalam mengambil terbitan fungsi algebra.
