Contoh Soalan Membincangkan Siri Geometri
Jujukan geometri merupakan konsep asas dalam matematik yang sering diajar di sekolah menengah. Jujukan ini terdiri daripada satu set nombor, yang setiap satunya merupakan hasil darab nombor sebelumnya dengan pemalar yang dikenali sebagai "nisbah". Artikel ini akan merangkumi beberapa contoh masalah dan perbincangan tentang jujukan geometri, dengan harapan dapat membantu pembaca memahami konsep ini dengan lebih baik.
Memahami Siri Geometri
Jujukan geometri ialah jujukan nombor yang dibentuk dengan mendarabkan nombor pertama (a) dengan nisbah tetap (r). Secara amnya, bentuk umum jujukan geometri ialah:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
Di sini:
– “a” ialah sebutan pertama bagi jujukan itu.
– “r” ialah nisbah satu sebutan kepada sebutan sebelumnya.
– “n” ialah sebutan ke-n dalam jujukan itu.
Contoh Soalan dan Perbincangan
Mari kita bincangkan beberapa contoh masalah untuk memahami lebih lanjut tentang jujukan geometri.
Contoh Soalan 1
Soalan:
Diberi satu jujukan geometri dengan sebutan pertama (a) ialah 3 dan nisbah (r) ialah 2. Tentukan:
1. Sebutan ke-5 bagi jujukan tersebut.
2. Hasil tambah 6 sebutan pertama bagi jujukan tersebut.
Perbincangan:
1. Sebutan ke-5 (U5) boleh dikira menggunakan formula untuk sebutan ke-n bagi jujukan geometri, iaitu:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Menggantikan a = 3, r = 2, dan n = 5 ke dalam formula:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
Jadi, sebutan ke-5 bagi jujukan itu ialah 48.
2. Hasil tambah 6 sebutan pertama (S6) bagi suatu jujukan geometri boleh dikira menggunakan formula untuk hasil tambah n sebutan pertama, iaitu:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
Menggantikan a = 3, r = 2, dan n = 6 ke dalam formula:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
\[ S_6 = 189 \]
Jadi, jumlah 6 suku pertama bagi jujukan itu ialah 189.
Contoh Soalan 2
Soalan:
Suatu jujukan geometri mempunyai sebutan ke-3 iaitu 27 dan sebutan ke-5 ialah 243. Tentukan nilai sebutan pertama (a) dan nisbah (r).
Perbincangan:
Diberi U3 = 27 dan U5 = 243. Menggunakan formula untuk sebutan ke-n bagi jujukan geometri:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Untuk U3:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
Untuk U5:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
Membandingkan persamaan (1) dan (2) untuk menghapuskan a:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ atau } r = -3 \]
Gantikan nilai r ke dalam persamaan (1):
Jika \( r = 3 \):
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Jika \( r = -3 \):
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Jadi, sebutan pertama (a) ialah 3, dan nisbah (r) boleh jadi 3 atau -3.
Contoh Soalan 3
Soalan:
Cari hasil tambah tak terhingga bagi siri geometri berikut jika sebutan pertama (a) ialah 8 dan nisbah (r) ialah 1/2.
Perbincangan:
Jumlah tak terhingga bagi siri geometri boleh dikira menggunakan formula:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
Menggantikan a = 8 dan r = 1/2 ke dalam formula:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
Jadi, hasil tambah tak terhingga bagi siri geometri ialah 16.
Contoh Soalan 4
Soalan:
Suatu jujukan geometri mempunyai sebutan ke-2 iaitu 12 dan sebutan ke-4 ialah 108. Tentukan nisbah dan sebutan pertama bagi jujukan tersebut.
Perbincangan:
Diberi \( U_2 = 12 \) dan \( U_4 = 108 \). Menggunakan formula untuk sebutan ke-n bagi jujukan geometri:
Untuk \( U_2 \):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
Untuk \( U_4 \):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
Membandingkan persamaan (1) dan (2) untuk menghapuskan a:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ atau } r = -3 \]
Gantikan nilai r ke dalam persamaan (1):
Jika \( r = 3 \):
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
Jika \( r = -3 \):
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
Jadi, sebutan pertama (a) boleh jadi 4 atau -4, dan nisbah (r) boleh jadi 3 atau -3.
Kesimpulannya
Jujukan geometri merupakan konsep matematik penting yang kerap digunakan dalam pelbagai bidang. Dengan memahami asas-asasnya dan mengamalkan kemahiran menyelesaikan masalah, diharapkan kita dapat menjadi lebih mahir dalam memahami dan mengaplikasikan konsep tersebut. Artikel ini merangkumi beberapa contoh masalah dan perbincangan untuk membantu pembaca mempelajari dan memahami jujukan geometri dengan lebih mendalam. Kami harap ini dapat membantu!
