Contoh Soalan Membincangkan Siri Aritmetik
Jujukan aritmetik merupakan konsep asas dalam matematik yang kerap muncul dalam pelbagai masalah, baik di sekolah menengah mahupun pendidikan tinggi. Konsep ini melibatkan jujukan nombor di mana setiap sebutan adalah hasil penambahan atau penolakan nombor malar daripada sebutan sebelumnya. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan beberapa contoh masalah dan penyelesaiannya untuk lebih memahami konsep jujukan aritmetik.
Memahami Siri Aritmetik
Siri aritmetik ialah siri yang mempunyai beza (perbezaan) yang malar antara dua sebutan berturutan. Contohnya, jika siri aritmetik mempunyai sebutan pertama \(a\) dan beza \(d\), maka sebutan tersebut boleh ditulis seperti berikut:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Jika kita ingin mencari sebutan ke-n bagi siri ini, formula untuk sebutan ke-n (\(U_n\)) ialah:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Sementara itu, hasil tambah n sebutan pertama bagi siri aritmetik (\(S_n\)) boleh dikira menggunakan formula:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Contoh Soalan dan Perbincangan
Contoh Soalan 1
Soalan: Diberi satu siri aritmetik dengan sebutan pertama \(a = 5\) dan beza sepunya \(d = 3\). Cari sebutan ke-10 bagi siri tersebut.
Perbincangan:
Untuk mencari sebutan ke-10 (\(U_{10}\)), kita boleh menggunakan formula sebutan ke-n:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Jadi, penggal ke-10 bagi siri ini ialah 32.
Contoh Soalan 2
Soalan: Cari hasil tambah 15 sebutan pertama bagi siri aritmetik yang sebutan pertamanya ialah \(a = 4\) dan beza sepunya ialah \(d = 7\).
Perbincangan:
Untuk mencari hasil tambah 15 sebutan pertama (\(S_{15}\)), kita boleh menggunakan formula untuk hasil tambah n sebutan pertama:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
Jadi, jumlah 15 sebutan pertama bagi siri ini ialah 795.
Contoh Soalan 3
Soalan: Telah diketahui bahawa sebutan ke-5 bagi suatu siri aritmetik ialah 20 dan sebutan ke-12 ialah 48. Cari sebutan pertama (\(a\)) dan beza sepunya (\(d\)) bagi siri tersebut.
Perbincangan:
Daripada syarat-syarat yang diberikan:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Kita mempunyai dua persamaan linear dengan dua pembolehubah yang boleh kita selesaikan:
1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)
Daripada persamaan 1, kita boleh menyatakan \(a\) dalam sebutan \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Sekarang kita gantikan \(a\) ke dalam persamaan 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Sekarang kita gantikan nilai \(d\) ke dalam persamaan \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Jadi, sebutan pertama bagi siri ini ialah 4 dan beza sepunya ialah 4.
Contoh Soalan 4
Soalan: Berapa banyak sebutan yang diperlukan untuk siri aritmetik dengan sebutan pertama \(a = 2\) dan beza sepunya \(d = 5\) untuk jumlah kepada 200?
Perbincangan:
Dalam kes ini, kita perlu mencari hasil tambah n sebutan pertama (\(S_n\)) yang bersamaan dengan 200. Gunakan formula untuk hasil tambah n sebutan pertama:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Gantikan nilai \(a\) dan \(d\):
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Ini adalah persamaan kuadratik. Untuk menyelesaikannya, kita ubah bentuknya:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Gunakan formula kuadratik \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Dalam kes ini \(a = 5\), \(b = -1\), dan \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Nilai \(\sqrt{8001}\) hampir kepada 89.42, maka:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Kami mengambil nilai positif:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \anggaran \frac{90.42}{10} \]
\[ n \lebih kurang 9.042 \]
Jadi, bilangan sebutan yang diperlukan ialah 9 sebutan (jika dibundarkan).
Kesimpulannya
Jujukan aritmetik merupakan topik penting dalam matematik. Pemahaman yang menyeluruh tentang sebutan pertama, beza sepunya, sebutan ke-n, dan hasil tambah bagi sebutan ke-n pertama adalah sangat berharga untuk menyelesaikan pelbagai masalah. Dengan menggunakan contoh dan perbincangan di atas, diharapkan pembaca akan memperoleh pemahaman yang lebih baik tentang konsep asas jujukan aritmetik.
