सांख्यिकीमधील मॅन व्हिटनी चाचणी

सांख्यिकीमधील मॅन-व्हिटनी चाचणी

सांख्यिकी ही गणिताची एक शाखा आहे, जी माहितीचे संकलन, विश्लेषण, अर्थ लावणे आणि सादरीकरण यांच्याशी संबंधित आहे. माहितीवर आधारित निर्णय घेण्यासाठी विविध क्षेत्रांमध्ये सांख्यिकीचा वापर केला जातो. सांख्यिकीमधील एक वारंवार वापरले जाणारे तंत्र म्हणजे मॅन-व्हिटनी चाचणी (याला मॅन-व्हिटनी यू चाचणी किंवा विल्कोक्सन रँक-सम चाचणी असेही म्हणतात). ही एक नॉन-पॅरामीट्रिक पद्धत आहे , जी दोन असंबंधित गटांमध्ये लक्षणीय फरक आहे की नाही हे ठरवण्यासाठी वापरली जाते.

मॅन-व्हिटनी चाचणीची ओळख

मॅन-व्हिटनी चाचणी ही हेन्री मॅन आणि डोनाल्ड व्हिटनी यांनी १९४७ मध्ये टी-चाचणीला एक नॉन-पॅरामीट्रिक पर्याय म्हणून सादर केली. या पद्धतीमध्ये सामान्य वितरणाच्या गृहितकाची आवश्यकता नसते. त्यामुळे, जेव्हा डेटा सामान्य वितरणाचे अनुसरण करत नाही किंवा जेव्हा सामान्य वितरणाचे गृहितक प्रमाणित करण्यासाठी नमुन्याचा आकार खूपच लहान असतो, तेव्हा ही पद्धत विशेषतः उपयुक्त ठरते.

मॅन-व्हिटनी चाचणीची मूलभूत तत्त्वे

मॅन-व्हिटनी चाचणीचा उपयोग दोन गटांच्या मध्यकांची तुलना करण्यासाठी केला जातो. याचे मूलभूत तत्त्व असे आहे:

१. निरीक्षणांची क्रमवारी: दोन्ही गटांमधील सर्व डेटा एकत्र करून लहानापासून मोठ्यापर्यंत त्याची क्रमवारी लावली जाते. जर समान मूल्ये असतील, तर प्रत्येक निरीक्षणाची क्रमवारी त्याच्या योग्य क्रमांकाच्या सरासरीनुसार लावली जाते.

२. सांख्यिकीय चाचणीची गणना: सांख्यिकीय चाचणीचे मूल्य (U) प्रत्येक गटाच्या रँकच्या बेरजेच्या आधारावर मोजले जाते. गणना करण्याचे दोन मार्ग आहेत: एक जो पहिल्या गटापासून सुरू होतो आणि दुसरा जो दुसऱ्या गटापासून सुरू होतो.

U चे सर्वसाधारण सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
किंवा
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
di mana:
– \(n_1\) आणि \(n_2\) ही प्रत्येक गटातील निरीक्षणांची संख्या आहे,
– \(R_1\) आणि \(R_2\) हे प्रत्येक गटातील रँकची संख्या आहे.

३. सार्थकता चाचणी: p-मूल्य निश्चित करण्यासाठी सार्थकता चाचणी घेतली जाते. नमुन्याचा आकार मोठा असल्यास, U वितरणाचे सामान्य वितरणाद्वारे अंदाजे वर्णन केले जाऊ शकते.

मॅन-व्हिटनी चाचणीमधील गृहितके

जरी मॅन-व्हिटनी चाचणी ही एक नॉन-पॅरामीट्रिक चाचणी असून त्यासाठी नॉर्मल डिस्ट्रिब्युशनच्या गृहितकाची आवश्यकता नसते, तरीही निकालांच्या वैधतेसाठी अनेक संबंधित गृहितके पूर्ण करणे आवश्यक आहे:

१. स्वातंत्र्य: दोन्ही गटांमधील प्रत्येक निरीक्षण एकमेकांपासून स्वतंत्र असले पाहिजे.
२. क्रमवाचक किंवा अंतराल प्रमाण: डेटा क्रमवाचक किंवा अंतराल प्रमाणावर असणे आवश्यक आहे. याचा अर्थ असा की डेटाची क्रमवारी लावता येते आणि त्यात क्रमवारीची माहिती असते.
३. वितरण श्रेणी: दोन्ही गटांच्या वितरणाचा आकार सारखाच असला पाहिजे (जरी मध्यक वेगळा असू शकतो).

मॅन-व्हिटनी चाचणी पार पाडण्याचे टप्पे

मॅन-व्हिटनी चाचणी करण्यासाठी सामान्यतः खालील टप्प्यांचा अवलंब केला जातो:

१. डेटा एकत्र करा आणि क्रमवारी लावा: दोन्ही गटांमधील डेटा एकत्र करा आणि त्याची एकूण क्रमवारी लावा. सरासरी मूल्याशी निगडित रँकच्या समायोजनासह, क्रमानुसार रँकिंग दिले जाते.

२. क्रमवारीची संख्या मोजा: प्रत्येक गटासाठी क्रमवारीची संख्या मोजा.

३. सांख्यिकीचे U-मूल्य निश्चित करणे: दोन्ही गटांसाठी U-मूल्याची गणना करण्यासाठी पूर्वी स्पष्ट केलेल्या सूत्राचा वापर करा.

४. क्रांतिक मूल्य किंवा पी-मूल्य निश्चित करणे: गटांमधील फरक सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण आहे की नाही हे ठरवण्यासाठी, मिळालेल्या यू-मूल्याची यू-वितरण सारणीतील क्रांतिक मूल्याशी तुलना करा (किंवा पी-मूल्याची गणना करा).

उदाहरणार्थ, समजा आपल्याकडे A आणि B असे दोन डेटा संच आहेत. हा डेटा एखाद्या विशिष्ट रोगावरील दोन वेगवेगळ्या उपचारपद्धती दर्शवू शकतो आणि आपल्याला हे जाणून घ्यायचे आहे की एक उपचारपद्धती दुसऱ्यापेक्षा अधिक प्रभावी आहे की नाही.

व्यावहारिक उदाहरण

समजा आपल्याकडे दोन उपचार गट आहेत:

– थेरपी ए: [८५, ९०, ८८, ७५, ९१]
– थेरपी बी: ​​[८०, ७८, ९५, ८७, ९२]

१. डेटाचे एकत्रीकरण आणि वर्गीकरण:
– संयुक्त: [८५, ९०, ८८, ७५, ९१, ८०, ७८, ९५, ८७, ९२]
– क्रम आणि रँकिंग: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]

२. रँकच्या संख्येची गणना करणे:
– थेरपी ए च्या रेटिंगची संख्या: ४ + ७ + ६ + १ + ८ = २६
– थेरपी बी रेटिंगची संख्या: ३ + २ + १० + ५ + ९ = २९

३. U मूल्याची गणना करणे:
\[
U_A = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
U चे लहान मूल्य निवडा, म्हणजेच U = 11.

४. महत्त्व निश्चित करणे:
मिळालेल्या U मूल्याची क्रांतिक U मूल्याशी तुलना करा वितरण सारणी मॅन-व्हिटनी पद्धत वापरा किंवा पी-व्हॅल्यूची गणना करा. जर U क्रांतिक मूल्यापेक्षा कमी असेल किंवा पी-व्हॅल्यू अल्फापेक्षा (उदा. ०.०५) कमी असेल, तर आपण ते नाकारतो. शून्य गृहीतक आणि असा निष्कर्ष काढला की दोन्ही गटांमध्ये लक्षणीय फरक होता.

मॅन-व्हिटनी चाचणीचे फायदे आणि मर्यादा

श्रेष्ठता:

१. नॉनपॅरामीट्रिक: सामान्य वितरणाच्या गृहितकाची आवश्यकता नसते.
२. लवचिकता: जेव्हा डेटा ऑर्डिनल स्केलवर असतो किंवा त्यात आउटलायर्स असतात तेव्हा वापरले जाऊ शकते.
३. सोपे आणि प्रभावी: गणना करण्यास आणि अर्थ लावण्यास सोपे.

केटरबतासन:

१. कार्यक्षमतेत घट: सामान्य वितरणात, टी-चाचणी अधिक कार्यक्षम असते.
२. समान वितरण स्वरूपाचे गृहीतक: ही चाचणी दोन गटांमध्ये समान वितरण स्वरूप असल्याचे गृहीत धरते.
३. लहान नमुना आकारांवरील मर्यादा: अतिशय लहान नमुन्यांवर अ‍ॅसिम्टोटिक वितरण कमी अचूक असू शकते.

निष्कर्ष

मॅन-व्हिटनी चाचणी ही दोन असंबंधित गटांमधील फरक ओळखण्यासाठी एक शक्तिशाली आणि लवचिक नॉनपॅरामीट्रिक साधन आहे. याची मूलभूत तत्त्वे आणि अंमलबजावणीचे टप्पे समजून घेतल्यास, आपण विविध संशोधन क्षेत्रांमधील अनेक प्रकारच्या उपयोगांमध्ये या चाचणीचा वापर करू शकतो. या चाचणीला काही मर्यादा असल्या तरी, विशिष्ट परिस्थितीत तिचे फायदे तिला सांख्यिकीमधील एक अत्यंत मौल्यवान पद्धत बनवतात.