न्यूटनचा दुसरा नियम हा भौतिकशास्त्रातील एक मूलभूत संकल्पना आहे, जो बल, वस्तुमान आणि त्वरण यांच्यातील संबंध स्पष्ट करतो. या नियमानुसार, एखाद्या वस्तूचे त्वरण हे तिच्यावर कार्य करणाऱ्या निव्वळ बलाच्या समानुपाती आणि तिच्या वस्तुमानाच्या व्यस्त प्रमाणात असते. गणितानुसार, न्यूटनचा दुसरा नियम असा मांडला जातो:
\[ F = ma \]
कुठे:
– \( F \) हे वस्तूवर कार्य करणारे निव्वळ बल आहे (न्यूटन, N मध्ये).
– \( m \) हे वस्तूचे वस्तुमान (किलोग्राम, kg मध्ये) आहे.
– \( a \) हे वस्तूचे त्वरण आहे (मीटर प्रति सेकंद वर्ग, \( m/s^2 \) मध्ये).
या लेखात, आपण न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाची काही उदाहरणे पाहणार आहोत, जेणेकरून विविध परिस्थितींमध्ये त्याचा उपयोग कसा होतो हे आपल्याला समजेल.
उदाहरण प्रश्न १: प्रवेगित गाडीवरील बल
प्रश्न:
1000 kg वस्तुमान असलेली एक कार 5 सेकंदात स्थिर अवस्थेतून 20 m/s वेगापर्यंत वेग वाढवते. हा वेग मिळवण्यासाठी आवश्यक असलेले बल काढा.
उत्तर:
सर्वप्रथम, आपल्याला गाडीचे त्वरण मोजावे लागेल. त्वरण (\( a \)) खालील सूत्राने मोजता येते:
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]
कुठे:
– \(\Delta v\) हा वेगातील बदल आहे.
– \(\Delta t\) म्हणजे वेळेतील बदल.
ज्ञात मूल्ये ठेवा:
\[ a = \frac{20 \, \text{m/s} – 0 \, \text{m/s}}{5 \, \text{seconds}} \]
\[ a = \frac{20 \, \text{m/s}}{5 \, \text{seconds}} \]
\[ a = 4 \, \text{m/s}^2 \]
आता, आपण न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाचा वापर करून आवश्यक बलाची गणना करू शकतो:
\[ F = ma \]
\[ F = (1000 \, \text{kg})(4 \, \text{m/s}^2) \]
\[ F = 4000 \, \text{N} \]
म्हणून, गाडीला गती देण्यासाठी 4000 N बलाची आवश्यकता आहे.
उदाहरण प्रश्न २: खोक्यावरील घर्षण बल
प्रश्न:
50 kg वस्तुमानाचा एक खोका एका खडबडीत पृष्ठभागावर 300 N बलाने ढकलला जातो. जर खोका आणि पृष्ठभाग यांच्यातील घर्षण बल 100 N असेल, तर खोक्याचा त्वरण काढा.
उत्तर:
सर्वप्रथम, आपण खोक्यावर कार्य करणाऱ्या निव्वळ बलाची गणना करतो. निव्वळ बल (\( F_{\text{net}} \)) म्हणजे घर्षणासह, एखाद्या वस्तूवर कार्य करणाऱ्या सर्व बलांचा विचार केल्यानंतर त्यावर कार्य करणारे एकूण बल होय.
\[ F_{\text{net}} = F_{\text{push}} – F_{\text{friction}} \]
\[ F_{\text{net}} = 300 \, \text{N} – 100 \, \text{N} \]
\[ F_{\text{net}} = 200 \, \text{N} \]
आता, आपण न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाचा वापर करून पेटीचे त्वरण मोजू शकतो:
\[ F_{\text{net}} = ma \]
\[ 200 \, \text{N} = (50 \, \text{kg})a \]
\[ a = \frac{200 \, \text{N}}{50 \, \text{kg}} \]
\[ a = 4 \, \text{m/s}^2 \]
म्हणून, बॉक्सचे त्वरण 4 m/s² आहे.
उदाहरण प्रश्न ३: भार उचलण्यासाठी आवश्यक बलाची गणना करणे
प्रश्न:
एक क्रेन 200 kg वस्तुमानाचा भार 1,5 m/s² त्वरणाने वर उचलते. तो भार उचलण्यासाठी क्रेनला लागणारे बल काढा.
उत्तर:
सर्वप्रथम, आपल्याला भारावर कार्य करणाऱ्या गुरुत्वाकर्षण बलाची गणना करणे आवश्यक आहे. गुरुत्वाकर्षण बल (\( F_g \)) खालील सूत्राचा वापर करून मोजता येते:
\[ F_g = mg \]
कुठे:
– \( g \) हे गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण आहे (\( 9,8 \, \text{m/s}^2 \)).
ज्ञात मूल्ये ठेवा:
\[ F_g = (200 \, \text{kg})(9,8 \, \text{m/s}^2) \]
\[ F_g = 1960 \, \text{N} \]
आता, अतिरिक्त त्वरण विचारात घेऊन, भार उचलण्यासाठी क्रेनला आवश्यक असलेल्या एकूण बलाची (\( F \)) गणना करूया:
\[ F = ma + F_g \]
\[ F = (200 \, \text{kg})(1,5 \, \text{m/s}^2) + 1960 \, \text{N} \]
\[ F = 300 \, \text{N} + 1960 \, \text{N} \]
\[ F = 2260 \, \text{N} \]
म्हणून, क्रेनला भार उचलण्यासाठी 2260 N बलाची आवश्यकता आहे.
उदाहरण समस्या ४: दोरीने जोडलेल्या दोन वस्तूंच्या प्रणालीमधील बल
प्रश्न:
अनुक्रमे १० किलो आणि २० किलो वस्तुमान असलेल्या दोन वस्तू एका हलक्या दोरीने जोडलेल्या असून त्या कप्पीला टांगलेल्या आहेत. जेव्हा ही प्रणाली स्थिर स्थितीतून सोडली जाते, तेव्हा प्रणालीचा त्वरण आणि दोरीतील ताण काढा.
उत्तर:
सर्वप्रथम, दोन्ही वस्तूंवर कार्य करणारी बले आपण परिभाषित करूया. वस्तुमान \( m_1 = 10 \, \text{kg} \) आणि वस्तुमान \( m_2 = 20 \, \text{kg} \) आहे असे मानूया. दोन्ही वस्तूंवर कार्य करणारे गुरुत्वाकर्षण बल खालीलप्रमाणे आहे:
\[ F_{g1} = m_1 g = (10 \, \text{kg})(9,8 \, \text{m/s}^2) = 98 \, \text{N} \]
\[ F_{g2} = m_2 g = (20 \, \text{kg})(9,8 \, \text{m/s}^2) = 196 \, \text{N} \]
प्रणाली स्थिर स्थितीतून सोडली जात असल्याने, न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाचा वापर करून प्रणालीचे त्वरण मोजता येते. प्रणालीचे एकूण त्वरण (\( a \)) आहे:
\[ (m_1 + m_2)a = F_{g2} – F_{g1} \]
\[ (10 \, \text{kg} + 20 \, \text{kg})a = 196 \, \text{N} – 98 \, \text{N} \]
\[ 30 \, \text{kg} \cdot a = 98 \, \text{N} \]
\[ a = \frac{98 \, \text{N}}{30 \, \text{kg}} \]
\[ a = 3,27 \, \text{m/s}^2 \]
आता, आपण दोरीमधील ताण (\( T \)) मोजतो. दोरीमधील ताण हा वस्तुमानांपैकी एकावर, उदाहरणार्थ \( m_1 \), न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाचा वापर करून मोजता येतो:
\[ T – m_1 g = m_1 a \]
\[ T – 98 \, \text{N} = (10 \, \text{kg})(3,27 \, \text{m/s}^2) \]
\[ T – 98 \, \text{N} = 32,7 \, \text{N} \]
\[ T = 32,7 \, \text{N} + 98 \, \text{N} \]
\[ T = 130,7 \, \text{N} \]
तर, प्रणालीचे त्वरण 3,27 m/s² आहे आणि दोरीमधील ताण 130,7 N आहे.
निष्कर्ष
न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाच्या विविध उदाहरणांमधून, आपण शिकलो आहोत की वेगवेगळ्या परिस्थितींमध्ये बल, त्वरण आणि प्रतिबल मोजण्यासाठी हे तत्त्व कसे लागू केले जाते. न्यूटनचा दुसरा नियम केवळ सैद्धांतिक भौतिकशास्त्रातच आवश्यक नाही, तर दैनंदिन जीवनात आणि तंत्रज्ञानातही त्याचे अनेक व्यावहारिक उपयोग आहेत. न्यूटनचा दुसरा नियम समजून घेऊन आणि त्याचा सराव करून, आपण यांत्रिकीच्या विविध समस्या अधिक कार्यक्षमतेने आणि अचूकपणे सोडवू शकतो.
