യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

1. ഒരു വസ്തു a-ൽ ചലിക്കുന്നു പ്രവേഗം v = (2i − 1.5j) m/s. എന്താണ് Displacement 4 സെക്കൻഡിനുശേഷം വസ്തുവിന്റെ?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

പ്രവേഗത്തിന്റെ തിരശ്ചീന ഘടകം (v_x) = 2 മീ/സെ

പ്രവേഗത്തിന്റെ ലംബ ഘടകം (v_y) = 1.5 മീ/സെ

സമയ ഇടവേള (t) = 4 സെക്കൻഡ്

ആവശ്യമുണ്ട്: സ്ഥാനമാറ്റാം

പരിഹാരം:

പ്രവേഗത്തിന്റെ (v) ഫലം:

സ്ഥാനചലനം:

s = vt = (2.5 മീ/സെ)(4 സെ)

സെ = 10 മീറ്റർ

2. വെക്ടർ F₁ = 14 N ഉം F ഉം₂ = 10 N. R = i + j ൽ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ഫലമായ വെക്റ്റർ നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം:

വെക്റ്ററുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ:

F_1x = (എഫ്₁)(കോസ് 60)^o) = (14)(0.5) = -7 N (നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം നെഗറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (ഇടത്തേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നു)

F_1y = (എഫ്₁)(പാപം 60^o) = (14)(0.5√3) = 7√3 N (ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് y അക്ഷത്തിൽ (വലത്തേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ് ആണ്)

F_2x = 10 എൻ

F_2y = 0

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ:

F_x = എഫ്_1x + F_2x + F_3x = -7 + 10 = 3 എൻ

F_y = എഫ്_1y + F_2y + F_3y = 7√3 + 0 = 7√3 എൻ

യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററിലെ ഫലമായ വെക്റ്റർ:

R = 3 i + 7√3 j

1. ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ എന്താണ്? ഉത്തരം: ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ എന്നത് 1 എന്ന കാന്തിമാനമുള്ള ഒരു വെക്റ്ററാണ്. ഇത് സാധാരണയായി കാന്തിമാനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു വിവരവും നൽകാതെ ദിശയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.
2. വെക്റ്റർ ഗണിതത്തിലും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ പ്രധാനമായിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? ഉത്തരം: യൂണിറ്റ് വെക്‌ടറുകൾ അത്യാവശ്യമാണ്, കാരണം അവ ദിശകൾ വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് മാർഗം നൽകുന്നു. ഒരു പ്രത്യേക ദിശയിൽ ആവശ്യമുള്ള നീളമുള്ള ഒരു വെക്‌ടർ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് അവയെ ഒരു മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് ഉപയോഗിച്ച് സ്കെയിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും.
3. തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു വെക്റ്ററിൽ നിന്ന് ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ എങ്ങനെ ലഭിക്കും? ഉത്തരം: ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയിലുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്‌ടറിനെ അതിന്റെ കാന്തിമാനം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കും.
4. കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളിലെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ ഏതൊക്കെയാണ്, അവയുടെ ദിശകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? ഉത്തരം: കാർട്ടീഷ്യൻ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളിലെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ i, j, ഒപ്പം k. i x-അക്ഷത്തിന്റെ ദിശയിലുള്ള പോയിന്റുകൾ, j y-അക്ഷത്തിന്റെ ദിശയിലുള്ള പോയിന്റുകൾ, കൂടാതെ k z-അക്ഷത്തിന്റെ ദിശയിലുള്ള പോയിന്റുകൾ.
5. ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററിന് 1 അല്ലെങ്കിൽ -1 ഒഴികെയുള്ള ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമോ? ഉത്തരം: അതെ. ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററിന്റെ ഘടകങ്ങൾ അതിന്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ മാത്രമേ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി വിന്യസിച്ചിട്ടുള്ളൂ (ഉദാ: i, j, k (കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ) 1, -1, അല്ലെങ്കിൽ 0 എന്നീ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.
6. രണ്ട് യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ തന്നെയാണോ? ഉത്തരം: ഇല്ല. രണ്ട് യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളും കോളിനിയറും വിപരീത ദിശയിലുള്ളതുമല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ആകെത്തുക സാധാരണയായി ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ ആകില്ല.
7. വ്യത്യസ്ത കാന്തിമാനമുള്ളതും എന്നാൽ ഒരേ ദിശയിലുള്ളതുമായ ഒരു വെക്റ്ററിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന് ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററിനെ സ്കെയിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയുമോ? ഉത്തരം: അതെ. ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററിനെ ഒരു സ്കെയിലർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ അതിന്റെ ദിശ അതേപടി നിലനിർത്തുന്നതിനൊപ്പം അതിന്റെ കാന്തിമാനം മാറും.
8. രണ്ട് യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റിന്റെ കാന്തിമാനം എന്താണ്? ഉത്തരം: രണ്ട് യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റിന്റെ കാന്തിമാനം അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന് തുല്യമാണ്. വെക്റ്ററുകൾ ലംബമായിരിക്കുമ്പോൾ പരമാവധി മൂല്യം 1 ഉം, വെക്റ്ററുകൾ സമാന്തരമായിരിക്കുമ്പോൾ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് 0 ഉം ആണ്.
9. രണ്ട് യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് പ്രോഡക്റ്റ് അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ നൽകുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണ്? ഉത്തരം: രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് പ്രോഡക്റ്റ് ഫോർമുല അവയുടെ മാഗ്നിറ്റ്യൂഡുകളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈന്റെയും ഗുണനഫലം കൊണ്ടാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്. രണ്ട് വെക്റ്ററുകളും യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളാകുമ്പോൾ, അവയുടെ കാന്തിമാനങ്ങൾ 1 ആണ്, അതിനാൽ ഡോട്ട് പ്രോഡക്റ്റ് കോണിന്റെ കോസൈൻ മാത്രമായി ലളിതമാക്കുന്നു.

10. ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ എന്ന ആശയം കാർട്ടീഷ്യൻ അല്ലാത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങളിലേക്ക് എങ്ങനെ വ്യാപിപ്പിക്കുന്നു? ഉത്തരം: ഗോളാകൃതിയിലുള്ളതോ സിലിണ്ടർ കോർഡിനേറ്റുകൾ പോലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ അല്ലാത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങളിൽ, ഓരോ കോർഡിനേറ്റ് ദിശയ്ക്കും അനുയോജ്യമായ വ്യത്യസ്ത യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഗോളാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളിൽ, യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ r (റേഡിയൽ ദിശ), θ (ധ്രുവകോണ ദിശ), കൂടാതെ φ (അസിമുതൽ ദിശ).