കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ നിയമം എങ്കിൽ എന്ന് പ്രസ്താവിച്ചു ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബലപ്രയോഗം കറങ്ങിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഒരു കർക്കശമായ വസ്തുവിൽ മൂല്യം പൂജ്യമാണ് അപ്പോൾ കോണീയ ആക്കം സ്ഥിരമായ ഭ്രമണ ചലനത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ദൃഢമായ വസ്തു. ന്യൂട്ടന്റെ കോണീയ ആവേഗത്തിനായുള്ള രണ്ടാം ചലന നിയമത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം പരിഷ്കരിച്ചുകൊണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ നിയമത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരാം.
ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം നിയമത്തിന്റെ ഈ കോണീയ ആവേഗ പതിപ്പ് ഫോർമുലയുടെ ഒരു ഭ്രമണ സാമ്യമാണ് ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം നിയമ ആക്കം പതിപ്പ്.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബലത്തിന്റെ നിമിഷം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യം ഇതിലേക്ക് മാറുന്നു:
കെറ്റെറാൻഗൻ :
പ്രശ്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ:
1. ഭ്രമണ ചലനത്തിലുള്ള ഒരു കണികയ്ക്ക് 4 കിലോഗ്രാം മീ. ജഡത്വ മുഹൂർത്തമുണ്ട്.2 കോണീയ പ്രവേഗം 2 റാഡ്/സെക്കൻഡ് ആണ്. കണികയുടെ കോണീയ പ്രവേഗം 4 റാഡ്/സെക്കൻഡ് ആയി മാറിയാൽ കണികയുടെ ജഡത്വ മൊമെന്റ്... ആയി മാറുന്നു.
ചർച്ച
അറിയപ്പെടുന്നത് :
ജഡത്വത്തിന്റെ പ്രാരംഭ മൊമെന്റ് = 4 കി.ഗ്രാം മീ2
പ്രാരംഭ കോണീയ പ്രവേഗം = 2 റാഡ്/സെ.
അന്തിമ കോണീയ വേഗത = 4 റാഡ്/സെ.
ചോദിച്ചു : ജഡത്വത്തിന്റെ അവസാന നിമിഷം?
ജവാബ് :
കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ നിയമം ഇപ്രകാരം പറയുന്നു:
പ്രാരംഭ കോണീയ ആക്കം (Lo) = അന്തിമ കോണീയ ആവേഗം (Lt)
(ഇനീഷ്യൽ ആനുകാലിക ജഡത്വ നിമിഷം) (ഇനീഷ്യൽ ആനുകാലിക കോണീയ വേഗത) = (ഇനീഷ്യൽ ആനുകാലിക കോണീയ വേഗത)
(4 കി.ഗ്രാം മീ.)2)(2 റാഡ്/സെ) = (ഇനർഷ്യയുടെ അവസാന നിമിഷം)(4 റാഡ്/സെ)
ജഡത്വത്തിന്റെ അന്തിമ നിമിഷം = 2 കി.ഗ്രാം മീ2
2. 2 കിലോഗ്രാം പിണ്ഡമുള്ള ഒരു കണിക 2 റാഡ്/സെക്കൻഡ് കോണീയ വേഗതയിൽ 2 മീറ്റർ ദൂരത്തിൽ നിന്ന് ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറങ്ങുന്നു. ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്നുള്ള കണികയുടെ ദൂരം 1 മീറ്ററായി മാറിയാൽ, കണികയുടെ കോണീയ വേഗത നിർണ്ണയിക്കുക!
ചർച്ച
അറിയപ്പെടുന്നത് :
കണികയുടെ പിണ്ഡം = 2 കി.ഗ്രാം
ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് കണികയ്ക്കുള്ള ദൂരം (1) = 2 മീറ്റർ
പ്രാരംഭ കോണീയ പ്രവേഗം = 2 റാഡ്/സെ.
ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് കണികയ്ക്കുള്ള ദൂരം (2) = 1 മീറ്റർ
ചോദിച്ചു : അന്തിമ കോണീയ പ്രവേഗം?
ജവാബ് :
കണികയുടെ ജഡത്വ നിമിഷം (I) കണക്കാക്കുക.
ജഡത്വത്തിന്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷം (I) തുടക്കം) :
I തുടക്കം = മിസ്റ്റർ.2 = (2 കി.ഗ്രാം)(2 മീ)2 = (2 കി.ഗ്രാം)(4 മീ2) = 8 കിലോഗ്രാം മീ2
ജഡത്വത്തിന്റെ അവസാന നിമിഷം (I) അവസാനിക്കുന്നു) :
I അവസാനിക്കുന്നു = മിസ്റ്റർ.2 = (2 കി.ഗ്രാം)(1 മീ)2 = (2 കി.ഗ്രാം)(1 മീ)2) = 2 കിലോഗ്രാം മീ2
അന്തിമ കോണീയ പ്രവേഗം കണക്കാക്കുക
കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ നിയമം :
പ്രാരംഭ കോണീയ ആക്കം = അന്തിമ കോണീയ ആക്കം
(ഇനീഷ്യൽ ആനുകാലിക ജഡത്വ നിമിഷം) (ഇനീഷ്യൽ ആനുകാലിക കോണീയ വേഗത) = (ഇനീഷ്യൽ ആനുകാലിക കോണീയ വേഗത)
(8 കി.ഗ്രാം മീ.)2)(2 റാഡ്/സെ) = (2 കി.ഗ്രാം മീ2)(അന്തിമ കോണീയ പ്രവേഗം)
അന്തിമ കോണീയ വേഗത = 8 റാഡ്/സെ.
3. ഒരു ഏകതാനമായ ഖര സിലിണ്ടർ ഡിസ്ക് തുടക്കത്തിൽ അതിന്റെ അച്ചുതണ്ടിൽ 4 റാഡ്/സെക്കൻഡ് കോണീയ വേഗതയിൽ കറങ്ങുന്നു. ഡിസ്കിന്റെ പിണ്ഡവും ആരവും 1 കിലോയും 0,5 മീറ്ററും ആണ്. ഡിസ്ക് കറങ്ങുമ്പോൾ, 0,2 കിലോയും 0,1 മീറ്ററും പിണ്ഡവും ആരവുമുള്ള ഒരു വളയം ഡിസ്കിന് മുകളിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നു, അങ്ങനെ ഡിസ്കും വളയവും ഒരുമിച്ച് കറങ്ങുന്നു. വളയത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം ഡിസ്കിന്റെ മധ്യത്തിന് നേരെ മുകളിലാണ്. ഡിസ്കിന്റെയും വളയത്തിന്റെയും കോണീയ വേഗത നിർണ്ണയിക്കുക!
ചർച്ച
അറിയപ്പെടുന്നത് :
പ്രാരംഭ കോണീയ വേഗത = ഖര സിലിണ്ടറിന്റെ കോണീയ വേഗത = 4 റാഡ്/സെ.
ഖര സിലിണ്ടറിന്റെ പിണ്ഡം = 1 കി.ഗ്രാം
ഖര സിലിണ്ടറിന്റെ ആരം = 0,5 മീറ്റർ
വളയത്തിന്റെ പിണ്ഡം = 0,2 കി.ഗ്രാം
വളയത്തിന്റെ ആരം = 0,1 മീറ്റർ
ചോദിച്ചു : അന്തിമ കോണീയ വേഗത = വളയത്തിന്റെയും ഖര സിലിണ്ടറിന്റെയും കോണീയ വേഗത?
ജവാബ് :
ഒരു ഏകതാനമായ ഖര സിലിണ്ടറിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം = I = ½ mr2
ഒരു വളയത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം = I = മിസ്റ്റർ2
ഒരു ഖര സിലിണ്ടറിന്റെ പ്രാരംഭ ജഡത്വ നിമിഷം = ജഡത്വ നിമിഷം:
ഞാൻ = ½ മിസ്റ്റർ2 = ½ (1 കി.ഗ്രാം)(0,5 മീ)2 = (0,5 കി.ഗ്രാം)(0,25 മീ2) = 0,125 കിലോഗ്രാം മീ2
അവസാന ജഡത്വ നിമിഷം = ഖര സിലിണ്ടറിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം + വളയത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം:
വളയത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം = I = മിസ്റ്റർ2 = (0,2 കി.ഗ്രാം)(0,1 മീ)2 = (0,2 കി.ഗ്രാം)(0,01 മീ2) = 0,002 കിലോഗ്രാം മീ2
ജഡത്വത്തിന്റെ അന്തിമ നിമിഷം = 0,125 കി.ഗ്രാം മീ2 + 0,002 കി.ഗ്രാം മീ2 = 0,127 കി.ഗ്രാം മീ2
കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ നിയമം :
പ്രാരംഭ കോണീയ ആക്കം (Lo) = അന്തിമ കോണീയ ആവേഗം (Lt)
(ഇനീഷ്യൽ ആനുകാലിക ജഡത്വ നിമിഷം) (ഇനീഷ്യൽ ആനുകാലിക കോണീയ വേഗത) = (ഇനീഷ്യൽ ആനുകാലിക കോണീയ വേഗത)
(0,125 കി.ഗ്രാം മീ.)2)(4 റാഡ്/സെ) = (0,127 കി.ഗ്രാം മീ2)(അന്തിമ കോണീയ പ്രവേഗം)
0,5 കി.ഗ്രാം മീ.2/ സെ = (0,127 കി.ഗ്രാം മീ2)(അന്തിമ കോണീയ പ്രവേഗം)
അന്തിമ കോണീയ വേഗത = 0,5 / 0,127
അന്തിമ കോണീയ വേഗത = 4 റാഡ്/സെ.
