സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിന്റെ സാമ്പിൾ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും
ഡാറ്റയുടെ ശേഖരണം, വിശകലനം, വ്യാഖ്യാനം, അവതരണം എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയാണ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ്. സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ആരോഗ്യം, സാമൂഹിക ശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ വിവിധ മേഖലകളിൽ നിരീക്ഷിച്ച പ്രതിഭാസങ്ങളെ മനസ്സിലാക്കാൻ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ആശയം നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നതിന് നിരവധി സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രശ്ന ഉദാഹരണങ്ങളും അവയുടെ വിശദീകരണങ്ങളും ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യും.
1. ഡാറ്റ പ്രോപ്പർട്ടികളും വിതരണ തരങ്ങളും
ഉദാഹരണ ചോദ്യം 1:
ഒരു ഗ്രാമത്തിലെ ആളുകളുടെ ശരാശരി പ്രായം നിർണ്ണയിക്കാൻ 30 ആളുകളിൽ നിന്ന് ഒരു ഗവേഷകൻ വിവരങ്ങൾ ശേഖരിച്ചു. ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രായങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തി:
ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, 25, 30, 22, 28, 34
ചോദിച്ചു:
1. ഡാറ്റയുടെ ശരാശരി (ശരാശരി) കണക്കാക്കുക.
2. ഡാറ്റയുടെ ശരാശരി നിർണ്ണയിക്കുക.
ചർച്ച:
1. ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നു:
എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയെ ഡാറ്റയുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്നതാണ് ശരാശരി.
ശരാശരി = (25 + 30 + 22 + 28 + 34 + 29 + 31 + 24 + 26 + 27 + 29 + 30 + 31 + 33 + 35 + 24 + 26 + 28 + 29 + 27 + 30 + 32 + 26 + 25 + 28 + 31 + 29 + 30 + 24 + 32) / 30
ശരാശരി = 840 / 30 = 28
അപ്പോൾ, ഗ്രാമത്തിലെ ആളുകളുടെ ശരാശരി പ്രായം 28 വയസ്സാണ്.
2. മീഡിയൻ നിർണ്ണയിക്കൽ:
മീഡിയൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യപടി ഡാറ്റയെ ഏറ്റവും ചെറുതിൽ നിന്ന് വലുതിലേക്ക് അടുക്കുക എന്നതാണ്.
അടുക്കിയ ഡാറ്റ: 22, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 34, 35
ഡാറ്റയുടെ എണ്ണം 30 (ഇരട്ട) ആയതിനാൽ, മീഡിയൻ രണ്ട് മധ്യ മൂല്യങ്ങളുടെ ശരാശരിയാണ്.
15-ഉം 16-ഉം സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ 29 ഉം 29 ഉം ആണ്.
മീഡിയൻ = (29 + 29) / 2 = 29
അപ്പോൾ, ഡാറ്റയുടെ ശരാശരി 29 വർഷമാണ്.
2. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും വേരിയൻസും
ഉദാഹരണ ചോദ്യം 2:
ഒരു കടയിൽ ഒരാഴ്ചയ്ക്കുള്ളിൽ ദിവസേന വന്ന സന്ദർശകരുടെ എണ്ണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഡാറ്റ ഇപ്രകാരമാണ്: 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210.
ചോദിച്ചു:
1. ഡാറ്റയുടെ വേരിയൻസ് കണക്കാക്കുക.
2. ഡാറ്റയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കുക.
ചർച്ച:
1. ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നു:
ശരാശരി = (120 + 135 + 150 + 165 + 180 + 195 + 210) / 7 = 1155 / 7 = 165
അപ്പോൾ, ശരാശരി ദൈനംദിന സന്ദർശകർ 165 ആണ്.
2. വേരിയൻസ് കണക്കാക്കുന്നു:
ഓരോ ഡാറ്റയും ശരാശരിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ ശരാശരിയാണ് വേരിയൻസ് \(\sigma^2\) എന്നത്.
വ്യത്യാസം = \(\sum_{i=1}^{n} (x_i – \mu)^2 / n\)
ഇവിടെ \(x_i\) എന്നത് ഓരോ ഡാറ്റയും ആണ്, \(\mu\) എന്നത് ശരാശരിയാണ്, n എന്നത് ഡാറ്റയുടെ എണ്ണമാണ്.
\((120-165)^2 = 2025\)
\((135-165)^2 = 900\)
\((150-165)^2 = 225\)
\((165-165)^2 = 0\)
\((180-165)^2 = 225\)
\((195-165)^2 = 900\)
\((210-165)^2 = 2025\)
ആകെ തുക = 2025 + 900 + 225 + 0 + 225 + 900 + 2025 = 6300
വേരിയൻസ് = 6300 / 7 = 900
2. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കുന്നു:
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നത് വേരിയൻസിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്.
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ = \(\sqrt{900}\) = 30
അപ്പോൾ, ദിവസേനയുള്ള സന്ദർശക ഡാറ്റയുടെ വേരിയൻസ് 900 ഉം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 30 ഉം ആണ്.
3. ഫ്രീക്വൻസി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനും ഹിസ്റ്റോഗ്രാമും
ഉദാഹരണ ചോദ്യം 3:
20 വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പരീക്ഷാ സ്കോറുകൾ കാണിക്കുന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു ഫ്രീക്വൻസി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പട്ടികയും ഹിസ്റ്റോഗ്രാമും സൃഷ്ടിക്കുക:
ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ, ക്സനുമ്ക്സ
ചോദിച്ചു:
1. 5 ക്ലാസ് ഇടവേളകളുള്ള ഒരു ഫ്രീക്വൻസി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പട്ടിക തയ്യാറാക്കുക.
2. ഫ്രീക്വൻസി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പട്ടികയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു ഹിസ്റ്റോഗ്രാം സൃഷ്ടിക്കുക.
ചർച്ച:
1. ഒരു ഫ്രീക്വൻസി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ടേബിൾ കംപൈൽ ചെയ്യുന്നു:
ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന ക്ലാസ് ഇടവേള 5 ആണ്.
| ക്ലാസ് ഇടവേള | ഫ്രീക്വൻസി |
|——————-|———–|
| 45 – 49 | 1 |
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 2 |
| 60 – 64 | 4 |
| 65 – 69 | 3 |
| 70 – 74 | 2 |
| 75 – 79 | 2 |
| 80 – 84 | 2 |
| 85 – 89 | 2 |
| 90 – 94 | 1 |
2. ഒരു ഹിസ്റ്റോഗ്രാം സൃഷ്ടിക്കൽ:
ഒരു ഹിസ്റ്റോഗ്രാം എന്നത് ഒരു ഫ്രീക്വൻസി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ടേബിളിന്റെ ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രാതിനിധ്യമാണ്. ഓരോ ക്ലാസ് ഇടവേളയെയും ഒരു ബാർ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ബാറിന്റെ ഉയരം അതിന്റെ ഫ്രീക്വൻസിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഇത് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് എക്സൽ പോലുള്ള സോഫ്റ്റ്വെയറോ മറ്റ് ഡാറ്റ വിഷ്വലൈസേഷൻ ടൂളുകളോ ഉപയോഗിക്കാം. അത്തരമൊരു ഹിസ്റ്റോഗ്രാമിന്റെ ലളിതമായ ഒരു പ്രാതിനിധ്യം ഇതാ:
""
ക്ലാസ് ഇടവേള: x-അക്ഷം (45-49, 50-54, …, 90-94)
ആവൃത്തി: y-അക്ഷം
| 4
| 3 x
| 2 xxxxx
| 1 xxxxxxxxx
|—————————————–
45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94
""
കുറിപ്പ്: ASCII പ്രതീകങ്ങൾ വഴിയുള്ള പ്രാതിനിധ്യം പൂർണ്ണമായും കൃത്യമല്ല. കൂടുതൽ ഉചിതമായ പ്രാതിനിധ്യത്തിന് ഗ്രാഫിക്സ് സോഫ്റ്റ്വെയർ ഉപയോഗിക്കുക.
ഉപസംഹാരം
ഈ ഉദാഹരണ ചോദ്യങ്ങളിലൂടെയും ചർച്ചകളിലൂടെയും, ശരാശരി, ശരാശരി, വേരിയൻസ്, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നിവ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്നും ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് ഫ്രീക്വൻസി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പട്ടികകളും ഹിസ്റ്റോഗ്രാമുകളും എങ്ങനെ സൃഷ്ടിക്കാമെന്നും ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു. ഡാറ്റ ഫലപ്രദമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനും കൃത്യമായ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് വിവരങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കുന്നതിനും ഈ ധാരണ നിർണായകമാണ്.
ഗവേഷണത്തിലും പ്രായോഗിക പ്രയോഗങ്ങളിലും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ ഒരു ശക്തമായ ഉപകരണമാണ്. അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും അവയുടെ പ്രയോഗങ്ങളും നമ്മൾ എത്രത്തോളം നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നുവോ അത്രത്തോളം സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും അറിവുള്ള തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കാനും നമുക്ക് കഴിയും.
