രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും സിസ്റ്റങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഉദാഹരണ ചോദ്യങ്ങൾ.
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും സംവിധാനങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പ്രധാന വിഷയമാണ്, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, ശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ് തുടങ്ങിയ വിവിധ മേഖലകളിൽ ഇത് വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും സിസ്റ്റങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങളും അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നും വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യും.
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ നിർവചനം
പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന രണ്ടോ അതിലധികമോ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ ചേർന്നതാണ് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യ വ്യവസ്ഥ. ഉദാഹരണങ്ങൾ:
\[
\തുടരുക{കേസുകൾ}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\അവസാനം{കേസുകൾ}
\]
ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്റെ ലക്ഷ്യം രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളെയും ഒരേസമയം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന \(x\) ഉം \(y\) ഉം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്.
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിരവധി രീതികളുണ്ട്, അവയിൽ ചിലത്:
1. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി
2. എലിമിനേഷൻ രീതി
3. മാട്രിക്സ് രീതി (വിപരീതം അല്ലെങ്കിൽ ഗാസ്-ജോർദാൻ)
ഉദാഹരണം ചോദ്യം 1: പകരം വയ്ക്കൽ രീതി
സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം:
\[
\തുടരുക{കേസുകൾ}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\അവസാനം{കേസുകൾ}
\]
ഘട്ടങ്ങൾ:
1. സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിലെ വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്ന് വേർതിരിക്കുക.
ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, നമ്മൾ \(x\) വേർതിരിക്കുന്നു:
\[
x = 10 – 2y
\]
2. കണ്ടെത്തിയ എക്സ്പ്രഷൻ മറ്റേ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് \(x = 10 – 2y\) പകരം വയ്ക്കുക:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
\(y\) പരിഹരിക്കുക:
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7y = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. മറ്റ് വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്താൻ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക.
\(x\) എന്നതിന്റെ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് \(y = \frac{25}{7}\) തിരികെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:
\[
x = 10 – 2\ഇടത്(\frac{25}{7}\വലത്)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
അപ്പോൾ, സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ \( x = \frac{20}{7} \) ഉം \( y = \frac{25}{7} \) ഉം ആണ്.
ഉദാഹരണ ചോദ്യം 2: എലിമിനേഷൻ രീതി
അടുത്തതായി, താഴെ പറയുന്ന സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ നമുക്ക് എലിമിനേഷൻ രീതി ഉപയോഗിക്കാം:
\[
\തുടരുക{കേസുകൾ}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\അവസാനം{കേസുകൾ}
\]
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണിതമാണെന്ന് നമുക്ക് കാണാം. സിസ്റ്റത്തെ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കാം:
1. ആദ്യ സമവാക്യത്തെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. ഗുണിച്ച ആദ്യ സമവാക്യം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
ഇത് \(0 = 0\) നൽകുന്നു, ഇത് സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെന്നും ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ആശ്രിതമാണെന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം ചോദ്യം 3: രേഖീയ അസമത്വങ്ങൾ
രേഖീയ അസമത്വങ്ങൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് സമാനമായ തത്വങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ \(<, \leq, >, \geq\) പോലുള്ള അസമത്വ ചിഹ്നങ്ങൾ ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം നോക്കാം:
\[
\തുടരുക{കേസുകൾ}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] ഘട്ടങ്ങൾ: 1. ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാര മേഖല നിർണ്ണയിക്കാൻ നമ്മൾ ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഓരോ അസമത്വവും ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക. 2. അതിർത്തി രേഖ നിർണ്ണയിക്കാൻ അസമത്വത്തെ ഒരു സമവാക്യമാക്കി മാറ്റുക: \(3x - y < 7\), അതിർത്തി രേഖ \(3x - y = 7\) ആണ്.
