ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റ് ലൈൻ സമവാക്യം ചർച്ച ചെയ്യുന്ന ഉദാഹരണ ചോദ്യങ്ങൾ
പെൻഡഹുലുവൻ
വിശകലന ജ്യാമിതിയിൽ ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റിന്റെ സമവാക്യം ഒരു പ്രധാന വിഷയമാണ്. ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റിന്റെ സമവാക്യം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഇന്റർമീഡിയറ്റ് മുതൽ അഡ്വാൻസ്ഡ് വരെയുള്ള തലങ്ങളിലെ വൈവിധ്യമാർന്ന ഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കും. ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റിന്റെ സമവാക്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള വിവിധ ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങളും രീതികളും ഈ ലേഖനം ചർച്ച ചെയ്യും.
നിർവചനവും അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തവും
കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിലെ ഒരു വൃത്തത്തെ സാധാരണയായി ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
ഇവിടെ \((a, b)\) എന്നത് വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രബിന്ദുവും \(r\) എന്നത് വൃത്തത്തിന്റെ ആരവുമാണ്.
ഒരു ബാഹ്യബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സ്പർശകം, വൃത്തത്തെ കൃത്യമായി ഒരു ബിന്ദുവിൽ സ്പർശിക്കുന്ന ഒരു രേഖയാണ്. ആ രേഖയ്ക്ക് സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുകയാണെങ്കിൽ:
\[ y = mx + c \]
അപ്പോൾ \(y = mx + c\) എന്ന രേഖ വൃത്തത്തിന് സ്പർശനരേഖയായിരിക്കും എന്ന വ്യവസ്ഥ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
ഇവിടെ \(m\) എന്നത് ടാൻജെന്റ് രേഖയുടെ ഗ്രേഡിയന്റ് ആണ്, \(c\) എന്നത് ഒരു സ്ഥിരാങ്കവുമാണ്.
ടാൻജെന്റ് ലൈൻ സമവാക്യ ഫോർമുല
കേന്ദ്രം \((0,0)\) ഉം \(r\) ആരവുമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജെന്റിന്, വൃത്തത്തിലെ \((x_1, y_1)\) എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള അതിന്റെ സമവാക്യം ഇതാണ്:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
എന്നാൽ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം \((a, b)\) എന്ന ബിന്ദുവിൽ ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം ഇതായിരിക്കും:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
സാമ്പിൾ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചകളും
ചോദ്യം 1
\((3, 4)\) കേന്ദ്രവും 5 യൂണിറ്റ് ആരവുമുള്ള ഒരു വൃത്തം. \((6, 8)\) എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ടാൻജെന്റ് രേഖയുടെ സമവാക്യം നിർണ്ണയിക്കുക.
ചർച്ച:
ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, നമുക്ക് \((3, 4)\) കേന്ദ്രവും 5 ആരവുമുള്ള ഒരു വൃത്തം നൽകിയിരിക്കുന്നു, \((6, 8)\) എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ടാൻജെന്റ് രേഖയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തണം. അത് പരിഹരിക്കാനുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ ഇതാ:
1. \((6, 8)\) എന്ന ബിന്ദു വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ അല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
അപ്പോൾ ബിന്ദു വൃത്തത്തിലായതിനാൽ അത് ഉപയോഗിച്ച് ടാൻജെന്റ് രേഖ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.
2. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 - 3)(x - 3) + (8 - 4)(y - 4) = 5^2
\]
3. സമവാക്യം ലളിതമാക്കുക:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. വികസിപ്പിക്കുക:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
ലഭിച്ച ടാൻജെന്റ് രേഖയുടെ സമവാക്യം:
\[
3x + 4y = 50
\]
ചോദ്യം 2
\[x^2 + y^2 = 16\] എന്ന സമവാക്യമുള്ള വൃത്തം. \((4, 0)\) എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ടാൻജെന്റ് രേഖയുടെ സമവാക്യം നിർണ്ണയിക്കുക.
ചർച്ച:
\((0, 0)\) കേന്ദ്രവും 4 യൂണിറ്റ് ആരവുമുള്ള ഒരു വൃത്തം. നൽകിയിരിക്കുന്ന ബാഹ്യബിന്ദു \((4, 0)\) ആണ്.
1. \((0, 0)\) കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. മൂല്യ പകരക്കാരൻ:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. ലളിതമാക്കുക:
\[
4 = 16
\]
\[
x = 4
\]
അതായത്, നമുക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് സമവാക്യം:
\[
x = 4
\]
ചോദ്യം 3
\((-1, 5)\) എന്ന ബിന്ദുവിൽ \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) എന്ന വൃത്തത്തോട് സ്പർശിക്കുന്ന ഒരു രേഖ രൂപപ്പെടുത്തുക.
ചർച്ച:
\((-2, 3)\) കേന്ദ്രവും 3 യൂണിറ്റ് ആരവുമുള്ള ഒരു വൃത്തം. ടാൻജൻസിയുടെ ബിന്ദു \((-1, 5)\) ആണ്.
1. ബിന്ദു വൃത്തത്തിലാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \വലത് അമ്പടയാളം \ടെക്സ്റ്റ് {വൃത്തത്തിലല്ല}
\]
അതിനാൽ, ചോദ്യത്തിന്റെയോ പോയിന്റിന്റെയോ ഇൻപുട്ടിൽ ഒരു പിശക് ഉണ്ടാകാം. \((-2, 6)\) എന്നത് സ്പർശന ബിന്ദുവായി നൽകിയാൽ:
2. ലളിതമാക്കുക:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
പകരം വയ്ക്കൽ:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
ഫലം:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
y = 6
അത് ആ പോയിന്റ് & പെർസ് ആയി മാറുന്നു.:
y = 6 തീർച്ചയായും സാധുവാണ്.
ഉപസംഹാര പരിശോധന കോമ്പിനേഷൻ, ഓർമ്മിക്കുക, എണ്ണാനുള്ള 2 വഴികൾ.
സാധു/തെറ്റ്..ആ പ്ലസ് സംഗ്രഹം ഗാർ. ടിഡി 2; ആകൃതി (ഗ്രിഡ്) ഉപയോഗിച്ച് സാധൂകരിക്കുക. പ്ലിസ് പെരിമീറ്റർ എല്ലാ കവറേജും btns.
അത്രയേയുള്ളൂ, നന്ദി, ഇത് എന്റെ സുഹൃത്തുക്കൾക്ക് ഉപകാരപ്പെടുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.
കൂടാതെ, ഗ്രാഹ്യം ശക്തിപ്പെടുത്തുക എന്ന ആശയം പഠിക്കുക.
മുമ്പ് മനസ്സിലാകാത്തവർക്ക്, ദൈവം അനുവദിച്ചാൽ, കൂടുതൽ വിശദമായ നിർണായക ശസ്ത്രക്രിയ ഘട്ടങ്ങൾ ആവശ്യമായി വരും.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{തടയുന്നു}-fu.
"
