സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ചർച്ചാ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉദാഹരണം.

ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ചർച്ചാ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉദാഹരണം

സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലും സാധ്യതകളിലും ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന തുടർച്ചയായ സാധ്യതാ വിതരണങ്ങളിൽ ഒന്നാണ് ഗൗസിയൻ വിതരണം എന്നും അറിയപ്പെടുന്ന നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ. സമമിതി പോലുള്ള അനുകൂലമായ ഗണിതശാസ്ത്ര ഗുണങ്ങളും ശരാശരി (µ), സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (σ) എന്നിവയുള്ള പാരാമീറ്ററൈസേഷനിലെ അതിന്റെ പ്രത്യേകതയും കാരണം വിവിധ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അനുമാനങ്ങളിൽ ഈ വിതരണം പലപ്പോഴും ഒരു അടിസ്ഥാന അനുമാനമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ ആശയത്തെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ ആഴത്തിൽ മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് ഈ ലേഖനം ഉദാഹരണങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യുകയും നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം ചർച്ച ചെയ്യുകയും ചെയ്യും.

സാധാരണ വിതരണം മനസ്സിലാക്കൽ

സാധാരണ വിതരണത്തെ ഒരു സമമിതി ബെൽ കർവ് ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, മിക്ക മൂല്യങ്ങളും മധ്യ മൂല്യത്തിന് ചുറ്റും അല്ലെങ്കിൽ ശരാശരിക്ക് ചുറ്റും കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ വിതരണത്തിനുള്ളിൽ, ശരാശരി (µ), സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (σ) എന്നിവ ഡാറ്റയിലെ വ്യാപനത്തിന്റെ സ്ഥാനവും അളവും നിർണ്ണയിക്കുന്ന രണ്ട് പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകളാണ്.

നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ (PDF) ഇതാണ്:

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}} എന്ന സംഖ്യയുടെ സമവാക്യം

എവിടെ:
– \( \mu \) എന്നത് ശരാശരി അല്ലെങ്കിൽ ശരാശരിയാണ്
– \( \sigma \) എന്നത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ആണ്
– \( x \) ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണ്

സാധാരണ വിതരണത്തിൽ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം

ഒരു സാധാരണ വിതരണമുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം വിതരണത്തിന്റെ ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്. \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), എങ്കിൽ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം \( E(X) \) ആണ്:

\[ ഇ(എക്സ്) = \മു \]

നമ്മുടെ ധാരണ ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നതിന് സാധാരണ വിതരണങ്ങളിലെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങളുമായി നമുക്ക് തുടരാം.

സാമ്പിൾ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും

ഉദാഹരണ ചോദ്യം 1:

\( X \) എന്നത് \( \mu = 50 \) ഉം \( \sigma = 10 \) ഉം ഉള്ള ഒരു സാധാരണമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണെന്ന് കരുതുക. \( X \) ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

ചർച്ച:

നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൽ, പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം \( E(X) \) \( \mu \) ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ,

\[ ഇ(എക്സ്) = \മു = 50 \]

ഉദാഹരണ ചോദ്യം 2:

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ \( Y \) സാധാരണയായി \( \mu = 120 \) ഉം \( \sigma = 15 \) ഉം ഉപയോഗിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. \( Y \) ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

ചർച്ച:

ആദ്യത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് സമാനമായി, \( Y \) ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ മധ്യ മൂല്യം അല്ലെങ്കിൽ ശരാശരിയാണ്, അതായത്:

\[ ഇ(വൈ) = \മു = 120 \]

ഉദാഹരണ ചോദ്യം 3:

\( \mu = 0 \) ഉം \( \sigma = 1 \) ഉം (സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ) ഉള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തെ \( Z \) റാൻഡം വേരിയബിൾ പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ, \( Z \) ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം എന്താണ്?

ചർച്ച:

സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന് ശരാശരി \( \mu = 0 \) ആണ്, അതിനാൽ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം \( E(Z) \) ആണ്:

\[ ഇ(ഇസഡ്) = \മു = 0 \]

ഉദാഹരണ ചോദ്യം 4:

\( W \) എന്നത് ശരാശരി \( \mu = 75 \) ഉം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും \( \sigma = 20 \) ഉള്ള ഒരു സാധാരണമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണെന്ന് കരുതുക. നമ്മൾ ഒരു പുതിയ റാൻഡം വേരിയബിൾ \( V = 2W + 3 \) നിർവചിക്കുകയാണെങ്കിൽ, \( V \) ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം എന്താണ്?

ചർച്ച:

\( V \) ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ, നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന്റെ രേഖീയ സ്വഭാവം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. \( V = 2W + 3 \) നൽകിയാൽ, പിന്നെ:

\[ ഇ(വി) = ഇ(2ഡബ്ല്യു + 3) \]

പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന്റെ രേഖീയ സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കത്തെ വേർതിരിക്കാം:

\[ ഇ(വി) = 2ഇ(ഡബ്ല്യു) + ഇ(3) \]

ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം സ്ഥിരാങ്കം തന്നെയാണെന്ന് അറിയുന്നത്:

\[ ഇ(3) = 3 \]

\( W \) ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ ശരാശരിയാണ് \( W \):

\[ E(W) = \mu = 75 \]

അതിനാൽ,

\[ E(V) = 2 \തവണ 75 + 3 \]
\[ ഇ(വി) = 150 + 3 \]
\[ ഇ(വി) = 153 \]

ഉദാഹരണ ചോദ്യം 5:

\( Q \) എന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ ശരാശരി \( \mu = 40 \) ഉം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും \( \sigma = 5 \) ഉള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തെ പിന്തുടരുന്നു. \[ U = Q/2 \] ആണെങ്കിൽ \( Q \) ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം എന്താണ്?

ചർച്ച:

ഉദാഹരണം 4-ലെ അതേ തത്വമാണ് നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്, അതായത് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന്റെ രേഖീയ സ്വഭാവം. \( U = Q/2 \) നൽകിയാൽ, പിന്നെ:

\[ E(U) = E\ഇടത്(\frac{Q}{2}\വലത്) \]

പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന്റെ രേഖീയ സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി:

\[ ഇ(യു) = \frac{1}{2} ഇ(ക്യു) \]

\( Q \) ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ ശരാശരിയാണെന്ന് നമുക്കറിയാം \( Q \):

\[ E(Q) = \mu = 40 \]

അതിനാൽ,

\[ E(U) = \frac{1}{2} \തവണ 40 \]
\[ ഇ(യു) = 20 \]

ഉപസംഹാരം

ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം എല്ലായ്പ്പോഴും വിതരണത്തിന്റെ ശരാശരി (µ) ന് തുല്യമായിരിക്കും. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങൾ ലീനിയാരിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള വിവിധ വ്യവസ്ഥകൾ കാണിക്കുന്നു. ഈ അടിസ്ഥാന ആശയം മനസ്സിലാക്കുന്നത് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലും സാധ്യതയിലും സാധാരണ വിതരണ പ്രശ്നങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു.

സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ സാധാരണ വിതരണം നിർണായകമാണ്, കാരണം ഇത് ഹൈപ്പോതെസിസ് ടെസ്റ്റിംഗ്, പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേഷൻ, മറ്റ് വിവിധ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അനുമാനങ്ങൾ എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ പ്രായോഗിക പ്രയോഗങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ വിതരണത്തിന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നല്ല ധാരണ ഡാറ്റ വിശകലനത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ആദ്യപടിയാണ്.

സാധാരണ വിതരണത്തിലെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വ്യക്തവും ഉപയോഗപ്രദവുമായ വിശദീകരണവും പ്രസക്തമായ ഉദാഹരണ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചകളും ഈ ലേഖനം നൽകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.