സർക്കിൾ മേഖലകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഉദാഹരണ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പരീക്ഷകളിലും പരിശീലന ചോദ്യങ്ങളിലും പതിവായി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രധാന വിഷയമാണ് ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സെക്ടർ. രണ്ട് ആരങ്ങളും അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ആർക്കും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഭാഗമാണ് സെക്ടർ. ഈ ലേഖനത്തിൽ, നമ്മുടെ ഗ്രാഹ്യം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന് വിശദമായ വിശദീകരണങ്ങളോടൊപ്പം, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സെക്ടറുകളെക്കുറിച്ചുള്ള നിരവധി ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യും.
ഒരു സർക്കിൾ സെക്ടറിന്റെ നിർവചനം
ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു സെക്ടർ എന്നത് രണ്ട് ആരങ്ങളും ഒരു ആർക്കും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു സെക്ടറാണ്. ഒരു സെക്ടറിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് വൃത്തത്തിന്റെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ്. ഒരു സെക്ടർ കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രധാന സൂത്രവാക്യം ഇപ്രകാരമാണ്:
– ജൂറിങ്ങിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം : \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– ആർക്ക് നീളം : \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
എവിടെ:
– \( \theta \) എന്നത് സെക്ടർ കോണിന്റെ വലുപ്പമാണ് ഡിഗ്രികളിൽ,
– \( r \) എന്നത് വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ്,
– \( \pi \) ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ് (ഏകദേശം 3.14159).
സാമ്പിൾ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും
ചോദ്യം 1:
10 സെന്റീമീറ്റർ ആരവും 90° കേന്ദ്രകോണും ഉള്ള ഒരു വൃത്തം നൽകിയാൽ, ആ സെക്ടറിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.
ചർച്ച:
ഇത് അറിയപ്പെടുന്നു:
– \( r = 10 \) സെ.മീ
– \( \തീറ്റ = 90^\സർക്കിൾ \)
ഒരു മേഖലയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
\( \pi \) എന്നത് 3.14 ആയി കണക്കാക്കിയാൽ,
\[L_juring = 25 \times 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
അതിനാൽ, സെക്ടറിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 78.5 cm² ആണ്.
ചോദ്യം 2:
ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു സെക്ടറിന്റെ ആരം 7 സെന്റീമീറ്ററും ആർക്ക് നീളം 11 സെന്റീമീറ്ററുമാണ്. സെക്ടറിന്റെ കേന്ദ്ര കോൺ റേഡിയനുകളിൽ നിർണ്ണയിക്കുക.
ചർച്ച:
ഇത് അറിയപ്പെടുന്നു:
– \( r = 7 \) സെ.മീ
– ആർക്ക് നീളം \( P_b = 11 \text{ cm} \)
കോൺ കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ ആർക്ക് നീള സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു \( \theta \):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
റേഡിയനുകളിൽ കോൺ കണ്ടെത്താൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നതിനാൽ, നമ്മൾ 360° യെ \(2\pi\) റേഡിയനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
\[P_b = \theta \times r\]
\[11 = \തീറ്റ \തവണ 7\]
\[\തീറ്റ = \frac{11}{7}\]
\[\തീറ്റ \ഏകദേശം 1.57 \ടെക്സ്റ്റ്{ റാഡ്}\]
അപ്പോൾ, സെക്ടറിന്റെ കേന്ദ്ര കോൺ 1.57 റേഡിയൻസ് ആണ്.
ചോദ്യം 3:
16 സെന്റീമീറ്റർ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന് 200 സെന്റീമീറ്റർ വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ഒരു സെക്ടർ ഉണ്ട്. സെക്ടറിന്റെ കേന്ദ്ര കോൺ കണക്കാക്കുക.
ചർച്ച:
ഇത് അറിയപ്പെടുന്നു:
– \( r = 16 \) സെ.മീ
– \( എൽ_ജൂറിംഗ് = 200 \ടെക്സ്റ്റ്{ സെ.മീ}^2 \)
ഒരു സെക്ടറിന്റെ ഏരിയ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ \( \theta \) കണ്ടെത്തുന്നു:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}}]
\[200 \times 360^\circ = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \തീറ്റ \തവണ 256 \തവണ 3.14\]
\[72000 = \തീറ്റ \തവണ 804.64\]
\[\തീറ്റ = \frac{72000}{804.64}\]
\[\തീറ്റ \ഏകദേശം 89.45^\സർക്കിൾ\]
അപ്പോൾ, സെക്ടറിന്റെ കേന്ദ്ര കോൺ ഏകദേശം 89.45° ആണ്.
ചോദ്യം 4:
12 സെ.മീ ആരവും 120° കേന്ദ്രകോണും ഉള്ള ഒരു സെക്ടറിന്റെ ആകെ ചുറ്റളവ് കണക്കാക്കുക.
ചർച്ച:
ഇത് അറിയപ്പെടുന്നു:
– \( r = 12 \) സെ.മീ
– \( \തീറ്റ = 120^\സർക്കിൾ \)
ആദ്യം, നമ്മൾ ആർക്ക് നീളം കണ്ടെത്തുന്നു:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ സെ.മീ}}
പിന്നെ, നമ്മൾ സെക്ടറിന്റെ ചുറ്റളവ് കണക്കാക്കുന്നു (ആർക്ക് നീളം + രണ്ട് ആരങ്ങൾ):
\[കെ = 2r + പി_ബി\]
\[K = 2 \times 12\text{ cm} + 8\pi\text{ cm}}]
\[K = 24\ടെക്സ്റ്റ്{ സെ.മീ} + 8\പൈ\ടെക്സ്റ്റ്{ സെ.മീ}}]
\( \pi \) എന്നത് 3.14 ആയി കണക്കാക്കിയാൽ,
\[K = 24\ടെക്സ്റ്റ്{ സെ.മീ} + 8 \times 3.14\ടെക്സ്റ്റ്{ സെ.മീ}}]
\[K = 24\ടെക്സ്റ്റ്{ സെ.മീ} + 25.12\ടെക്സ്റ്റ്{ സെ.മീ}}]
\[കെ = 49.12\ടെക്സ്റ്റ്{ സെ.മീ}}]
അപ്പോൾ, സെക്ടറിന്റെ ആകെ ചുറ്റളവ് 49.12 സെന്റിമീറ്ററാണ്.
ചോദ്യം 5:
18 സെന്റീമീറ്റർ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന് 45° കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഒരു സെക്ടർ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ആർക്കിന്റെ നീളവും സെക്ടറിന്റെ വിസ്തീർണ്ണവും നിർണ്ണയിക്കുക.
ചർച്ച:
ഇത് അറിയപ്പെടുന്നു:
– \( r = 18 \) സെ.മീ
– \( \തീറ്റ = 45^\സർക്കിൾ \)
1. ആർക്ക് നീളം:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}}]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ സെ.മീ}}
\( \pi \) എന്നത് 3.14 ആയി കണക്കാക്കിയാൽ,
\[P_b = 4.5 \times 3.14\text{ സെ.മീ} \approx 14.13\text{ സെ.മീ}}]
അപ്പോൾ, വില്ലിന്റെ നീളം ഏകദേശം 14.13 സെന്റിമീറ്ററാണ്.
2. മേഖലാ മേഖല:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
\( \pi \) എന്നത് 3.14 ആയി കണക്കാക്കിയാൽ,
\[L_juring = 40.5 \times 3.14\text{ cm}^2 \approx 127.17\text{ cm}^2\]
അതിനാൽ, ഈ മേഖലയുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഏകദേശം 127.17 ചതുരശ്ര മീറ്ററാണ്.
ഉപസംഹാരം
ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സെക്ടറുകളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ പരിഹാരങ്ങളെക്കുറിച്ചും ഉദാഹരണമായി നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സെക്ടറുകളെ മനസ്സിലാക്കുന്നതിന്റെ സാരാംശം, ഒരു സെക്ടറിന്റെ വിസ്തീർണ്ണവും ഒരു ആർക്കിന്റെ നീളവും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടുന്നതിലാണ്. പതിവായി പരിശീലിക്കുന്നതും വിവിധ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് മനസ്സിലാക്കുന്നതും സമാനമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള നിങ്ങളുടെ കഴിവ് മെച്ചപ്പെടുത്താൻ സഹായിക്കുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.
