ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ ഉദാഹരണ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും
ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡിസ്ക്രീറ്റ് പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളിൽ ഒന്നാണ് ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ. നിരവധി സമാനവും സ്വതന്ത്രവുമായ പരീക്ഷണങ്ങളിലൂടെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം മാതൃകയാക്കുന്നതിന് ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്, അവയിൽ ഓരോന്നും വിജയമോ പരാജയമോ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ, നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളും വിശദമായ ചർച്ചയും നൽകിക്കൊണ്ട് ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനിലേക്ക് ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ ആഴത്തിൽ പോകും.
ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ ആമുഖം
ദ്വിപദ വിതരണത്തിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ:
1. n : പരീക്ഷണങ്ങളുടെയോ ആവർത്തനങ്ങളുടെയോ എണ്ണം.
2. പേ: ഓരോ പരീക്ഷണത്തിലും വിജയസാധ്യത.
3. q = 1-p : ഓരോ പരീക്ഷണത്തിലും പരാജയപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത.
ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി മാസ് ഫംഗ്ഷൻ ഇതാണ്:
\[ P(X = k) = {n \തിരഞ്ഞെടുക്കുക k} p^k (1-p)^{nk} \]
എവിടെ:
– \( {n \തിരഞ്ഞെടുക്കുക k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ.
– \( k \): തേടിയ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം.
സാമ്പിൾ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും
ദ്വിപദ വിതരണത്തിന്റെ ആശയം കൂടുതൽ വിശദമായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് ചില ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.
ഉദാഹരണം 1: വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കൽ
ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 10 വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഒരു ഗ്രൂപ്പുണ്ടെന്ന് കരുതുക, ഓരോ വിദ്യാർത്ഥിയും ഒരു മത്സരത്തിൽ പങ്കെടുക്കാൻ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത 0,3 ആണെന്ന് കരുതുക. കൃത്യം 4 വിദ്യാർത്ഥികളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള സാധ്യത നമുക്ക് അറിയണം.
ഘട്ടം 1: ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ തിരിച്ചറിയുക.
– \( എൻ = 10 \)
– \( പി = 0.3 \)
ഘട്ടം 2: \( X = 4 \) ന്റെ സാധ്യത കണക്കാക്കാൻ ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉപയോഗിക്കുക.
\[ P(X = 4) = {10 \തിരഞ്ഞെടുക്കുക 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
കണക്കാക്കുന്നു \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \തിരഞ്ഞെടുക്കുക 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
ഇനി \( (0.3)^4 \) ഉം \( (0.7)^6 \) ഉം കണക്കാക്കുക:
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
അതിനാൽ,
\[ പി(എക്സ് = 4) = 210 \സിഡിറ്റ് 0.0081 \സിഡിറ്റ് 0.117649 \ഏകദേശം 0.20012 \]
അപ്പോൾ, കൃത്യമായി 4 വിദ്യാർത്ഥികൾ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത ഏകദേശം 0.20012 അല്ലെങ്കിൽ 20.012% ആണ്.
ഉദാഹരണം 2: സാധ്യത 2-നേക്കാൾ കുറവോ തുല്യമോ ആണ്
ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ടിൽ താഴെയോ തുല്യമോ ആയ വിദ്യാർത്ഥികളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ച് നമ്മോട് ചോദിക്കുന്നു.
ഘട്ടം 1: നമ്മൾ \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), \( P(X = 2) \) എന്നിവ കണക്കാക്കണം.
– \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \തിരഞ്ഞെടുക്കുക 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \0 തിരഞ്ഞെടുക്കുക} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ പി(എക്സ് = 0) = 1 \സിഡിറ്റ് 1 \സിഡിറ്റ് 0.0282475 = 0.0282475 \]
– \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \തിരഞ്ഞെടുക്കുക 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \1 തിരഞ്ഞെടുക്കുക} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ പി(എക്സ് = 1) = 10 \സിഡിറ്റ് 0.3 \സിഡിറ്റ് 0.1210608 = 0.3631824 \]
– \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \തിരഞ്ഞെടുക്കുക 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \2 തിരഞ്ഞെടുക്കുക} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ പി(എക്സ് = 2) = 45 \സിഡിറ്റ് 0.09 \സിഡിറ്റ് 0.2334744 = 0.2334744 \]
ഘട്ടം 2: സാധ്യതകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക.
\[ പി(എക്സ് \ലെക് 2) = പി(എക്സ് = 0) + പി(എക്സ് = 1) + പി(എക്സ് = 2) \]
\[ പി(എക്സ് \ലെക് 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
അപ്പോൾ, 2 വിദ്യാർത്ഥികളിൽ കുറവോ തുല്യമോ ആകാനുള്ള സാധ്യത ഏകദേശം 0.7740671 അല്ലെങ്കിൽ 77.41% ആണ്.
ഉദാഹരണം 3: കുറഞ്ഞത് 8 ന്റെ സാധ്യത
ഒരു പരീക്ഷണം 12 തവണ നടത്തുകയും ഓരോ പരീക്ഷണത്തിലും വിജയസാധ്യത 0.5 ആണെങ്കിൽ, കുറഞ്ഞത് 8 വിജയങ്ങളെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?
ഘട്ടം 1 : ബൈനോമിയൽ പാരാമീറ്ററുകൾ സജ്ജമാക്കുക: \( n = 12, p = 0.5 \).
ഘട്ടം 2 : \( X \geq 8 \) ന്റെ സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.
ഇതിന് നിരവധി വ്യക്തിഗത സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കി അവ കൂട്ടേണ്ടതുണ്ട്:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
ഓരോന്നായി എണ്ണുക:
– \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \തിരഞ്ഞെടുക്കുക 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \8 തിരഞ്ഞെടുക്കുക} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ പി(എക്സ് = 8) = 495 \സിഡിറ്റ് 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \തിരഞ്ഞെടുക്കുക 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \9 തിരഞ്ഞെടുക്കുക} = 220 \]
\[ പി(എക്സ് = 9) = 220 \സിഡിറ്റ് 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \തിരഞ്ഞെടുക്കുക 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \10 തിരഞ്ഞെടുക്കുക} = 66 \]
\[ പി(എക്സ് = 10) = 66 \സിഡിറ്റ് 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \തിരഞ്ഞെടുക്കുക 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \11 തിരഞ്ഞെടുക്കുക} = 12 \]
\[ പി(എക്സ് = 11) = 12 \സിഡിറ്റ് 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \തിരഞ്ഞെടുക്കുക 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \12 തിരഞ്ഞെടുക്കുക} = 1 \]
\[ പി(എക്സ് = 12) = 1 \സിഡിറ്റ് 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
ഘട്ടം 3: എല്ലാ സാധ്യതകളും ചേർക്കുക.
\[ പി(എക്സ് \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \ഏകദേശം 0.1938477 \]
അപ്പോൾ, 12 പരീക്ഷണങ്ങളിൽ കുറഞ്ഞത് 8 വിജയങ്ങളെങ്കിലും സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഏകദേശം 0.1938477 അല്ലെങ്കിൽ 19.38% ആണ്.
ഉപസംഹാരം
സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിലെ ഒരു അടിസ്ഥാന ആശയമാണ് ദ്വിപദ വിതരണം, പല പ്രായോഗിക പ്രയോഗങ്ങളിലും ഇത് നിർണായകമാണ്. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, ദ്വിപദ വിതരണത്തിന്റെ വിവിധ കേസുകൾക്കുള്ള സാധ്യതകൾ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് മനസ്സിലാക്കുന്നതിലൂടെ, യഥാർത്ഥ സാഹചര്യങ്ങളിൽ നമുക്ക് ഈ ആശയം പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. വ്യക്തവും സംഘടിതവുമായ ഒരു സന്ദർഭത്തിൽ സാധ്യതാ ഘടനകൾ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ ഗ്രാഹ്യത്തെ ഈ വ്യായാമം ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നു.
