ബെർണൂലിയുടെ തത്വവും സമവാക്യ പദാർത്ഥവും
നമ്മൾ വളരെ വേഗത്തിൽ മോട്ടോർ സൈക്കിൾ ഓടിക്കുമ്പോൾ , നമ്മൾ ധരിക്കുന്ന വസ്ത്രങ്ങൾ പിന്നിൽ വീർക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഇതുവരെ മോട്ടോർ സൈക്കിൾ ഓടിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ മാതാപിതാക്കളെയോ മോട്ടോർ സൈക്കിൾ ഓടിക്കുന്ന സുഹൃത്തുക്കളെയോ ശ്രദ്ധിക്കുക. മോട്ടോർ സൈക്കിൾ വേഗത്തിൽ പോകുമ്പോൾ സാധാരണയായി അവരുടെ വസ്ത്രങ്ങളുടെ പിൻഭാഗം പിന്നിൽ വീർക്കുന്നു. ചിലപ്പോൾ കാറ്റ് ശക്തമായി വീശുമ്പോൾ, വീടിന്റെ വാതിൽ തനിയെ അടഞ്ഞേക്കാം. വീടിന് പുറത്ത് കാറ്റ് വീശുന്നുണ്ടെങ്കിലും, വാതിൽ വീടിനുള്ളിലായിരിക്കും.
ബെർണൂലിയുടെ തത്വം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് വിശദീകരിക്കാം. മുകളിൽ പറഞ്ഞ ചില കാര്യങ്ങൾ വിശദീകരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാവുന്ന ഒരു തത്വം ഡാനിയേൽ ബെർണൂലി (1700–1782) കണ്ടെത്തി.
ബെർണൂലിയുടെ തത്വം
ബെർണൂലിയുടെ തത്വം പറയുന്നത്, ദ്രാവക പ്രവാഹ വേഗത കൂടുതലുള്ളിടത്ത് ദ്രാവക മർദ്ദം കുറവായിരിക്കും എന്നാണ്. നേരെമറിച്ച്, ദ്രാവക പ്രവാഹ വേഗത കുറവാണെങ്കിൽ, മർദ്ദം കൂടുതലായിരിക്കും. ഒരു മോട്ടോർ സൈക്കിൾ വേഗത്തിൽ നീങ്ങുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ ശരീരത്തിന്റെ മുന്നിലും അരികിലുമുള്ള വായു വേഗത കൂടുതലാണ്. അങ്ങനെ, വായു മർദ്ദം കുറയുന്നു. നിങ്ങളുടെ ശരീരത്തിന്റെ മുൻഭാഗം നിങ്ങളുടെ ശരീരത്തിന്റെ പിൻഭാഗം തടയുന്നു, അതിനാൽ നിങ്ങളുടെ ശരീരത്തിന്റെ പിന്നിലുള്ള വായു വേഗത ഉയർന്നതായി മാറുന്നില്ല (നിങ്ങളുടെ ശരീരത്തിന്റെ തൊട്ടുപിന്നിൽ). തൽഫലമായി, നിങ്ങളുടെ ശരീരത്തിന്റെ പിന്നിലുള്ള വായു മർദ്ദം കൂടുതലാകുന്നു. വായു മർദ്ദത്തിൽ വ്യത്യാസം ഉള്ളതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ ശരീരത്തിന്റെ തൊട്ടുപിന്നിലെ വായു മർദ്ദം കൂടുതലുള്ളിടത്ത്, വായു നിങ്ങളുടെ ഷർട്ട് പിന്നിലേക്ക് തള്ളുന്നു, ഇത് പിന്നിൽ നിന്ന് വീർത്തതായി തോന്നിപ്പിക്കുന്നു.
പുറത്ത് കാറ്റ് ശക്തമായി വീശുമ്പോൾ വാതിൽ സ്വയം അടയുന്നതിനെക്കുറിച്ച് എന്താണ് പറയുന്നത്? പുറത്തെ വായു അകത്തെ വായുവിനേക്കാൾ വേഗത്തിൽ നീങ്ങുന്നു. തൽഫലമായി, പുറത്തെ വായു മർദ്ദം അകത്തെ വായു മർദ്ദത്തേക്കാൾ കുറവാണ്. ഈ മർദ്ദ വ്യത്യാസം കാരണം, ഉള്ളിലെ വായു മർദ്ദം കൂടുതലുള്ളിടത്ത്, വാതിൽ പുറത്തേക്ക് തള്ളപ്പെടുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വാതിൽ ഉയർന്ന വായു മർദ്ദമുള്ള സ്ഥലത്ത് നിന്ന് താഴ്ന്ന വായു മർദ്ദമുള്ള സ്ഥലത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു.
ബെർണൂലി സമവാക്യം
മുമ്പ്, നമ്മൾ ബെർണൂലിയുടെ തത്വത്തെക്കുറിച്ച് പഠിച്ചിരുന്നു. ബെർണൂലി ഈ തത്വം അളവനുസരിച്ച് വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. ബെർണൂലി സമവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരാൻ, സ്ഥിരതയുള്ള, ലാമിനാർ ദ്രാവക പ്രവാഹം, അകംപ്രസ്സബിലിറ്റി, കുറഞ്ഞ വിസ്കോസിറ്റി എന്നിവ നാം അനുമാനിക്കുന്നു, ഇവ അവഗണിക്കാം.
തുടർച്ച സമവാക്യത്തിന്റെ ചർച്ചയിൽ, ഫ്ലോ ട്യൂബിന്റെ ക്രോസ്-സെക്ഷണൽ ഏരിയയെ ആശ്രയിച്ച് ദ്രാവക പ്രവാഹ നിരക്കും വ്യത്യാസപ്പെടാമെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി. മുകളിൽ വിശദീകരിച്ച ബെർണൂലി തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ദ്രാവക പ്രവാഹ നിരക്കിനെ ആശ്രയിച്ച് ദ്രാവക മർദ്ദവും വ്യത്യാസപ്പെടാം. ദ്രാവകത്തിന്റെ ഉയരത്തെ ആശ്രയിച്ച് ദ്രാവക മർദ്ദവും വ്യത്യാസപ്പെടാം. മർദ്ദം, പ്രവാഹ നിരക്ക്, പ്രവാഹ ഉയരം എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ബെർണൂലി സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും.
വിമാന പറക്കൽ, ജലവൈദ്യുത നിലയങ്ങൾ, പൈപ്പിംഗ് സംവിധാനങ്ങൾ മുതലായവ വിശകലനം ചെയ്യാൻ ബെർണൂലി സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാമെന്നതിനാൽ ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. നമ്മൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരുന്ന ബെർണൂലി സമവാക്യം പൊതുവായി ബാധകമാക്കുന്നതിന്, അസമമായ ക്രോസ്-സെക്ഷണൽ ഏരിയകളും വ്യത്യസ്ത ഉയരങ്ങളുമുള്ള ഒരു ഫ്ലോ ട്യൂബിലൂടെ ദ്രാവകം ഒഴുകുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം (താഴെയുള്ള ചിത്രം കാണുക). ബെർണൂലി സമവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരാൻ, ഫ്ലോ ട്യൂബ് മേഖലയിലെ ദ്രാവകത്തിൽ നമ്മൾ പ്രവർത്തനവും ഊർജ്ജ സിദ്ധാന്തവും പ്രയോഗിക്കുന്നു. അടുത്തതായി, ദ്രാവകത്തിന്റെ അളവും ദ്രാവകം നീക്കാൻ ചെയ്ത പ്രവർത്തനവും നമ്മൾ കണക്കാക്കും.
ചിത്രത്തിലെ ഫ്ലോ ട്യൂബിലെ അതാര്യമായ നിറം ദ്രാവക പ്രവാഹത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതേസമയം വെള്ള നിറം ദ്രാവകമില്ലെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ക്രോസ്-സെക്ഷണൽ ഏരിയ 1 (ഇടത് വശം) ലെ ദ്രാവകം L 1 ദൂരം ഒഴുകുകയും ക്രോസ്-സെക്ഷൻ 2 ലെ ദ്രാവകം (വലത് വശം) ദൂരം L 2 നീക്കാൻ നിർബന്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു . വലതുവശത്തുള്ള ക്രോസ്-സെക്ഷണൽ ഏരിയ 2 ചെറുതായതിനാൽ, ഫ്ലോ ട്യൂബിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള ദ്രാവക പ്രവാഹ നിരക്ക് കൂടുതലാണ് (തുടർച്ച സമവാക്യം ഓർമ്മിക്കുക). ഇത് ക്രോസ്-സെക്ഷൻ 2 (ഫ്ലോ ട്യൂബിന്റെ വലതുവശത്ത്) നും ക്രോസ്-സെക്ഷൻ 1 (ഫ്ലോ ട്യൂബിന്റെ ഇടതുവശത്ത്) നും ഇടയിൽ സമ്മർദ്ദ വ്യത്യാസത്തിന് കാരണമാകുന്നു - ബെർണൂലിയുടെ തത്വം ഓർമ്മിക്കുക. ക്രോസ്-സെക്ഷൻ 1 ന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ദ്രാവകം വലതുവശത്തുള്ള ദ്രാവകത്തിൽ P 1 മർദ്ദം ചെലുത്തുകയും ഇനിപ്പറയുന്ന ജോലികൾ ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു:
അപ്പോൾ W 1 എന്ന സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
ഡബ്ല്യു 1 = പി 1 എ 1 എൽ 1
ഫ്ലോ ട്യൂബിന്റെ വലതുവശത്ത് ക്രോസ് സെക്ഷൻ 2 ൽ, ദ്രാവകത്തിൽ ചെയ്യുന്ന ജോലി ഇതാണ്:
ഡബ്ല്യു 2 = − പി 2 എ 2 എൽ 2
നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്രയോഗിക്കുന്ന ബലം ചലന ദിശയ്ക്ക് വിപരീതമാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ ദ്രാവകം സെക്ഷൻ 2 ന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ഗുരുത്വാകർഷണബലവും ദ്രാവകത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. മുകളിൽ പറഞ്ഞ സാഹചര്യത്തിൽ, ദ്രാവകത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത പിണ്ഡം സെക്ഷൻ 1 ൽ നിന്ന് സെക്ഷൻ 2 ലേക്ക് L 1 വരെ നീക്കുന്നു , ഇവിടെ സെക്ഷൻ 1 ലെ ദ്രാവകത്തിന്റെ വ്യാപ്തം (A 1 L 1 ) = സെക്ഷൻ 2 ലെ ദ്രാവകത്തിന്റെ വ്യാപ്തം (A 2 L 2 ) . ഗുരുത്വാകർഷണത്താൽ ചെയ്യുന്ന ജോലി:
W 3 = − മില്ലിഗ്രാം (h 2 − h 1 )
W 3 = − എംജിഎച്ച് 2 + എംജിഎച്ച് 1 )
പ 3 = എംജിഎച്ച് 1 − എംജിഎച്ച് 2
ഗുരുത്വാകർഷണ ദിശയ്ക്ക് വിപരീത ദിശയിൽ ദ്രാവകം മുകളിലേക്ക് ഒഴുകുന്നതിനാലാണ് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം ഉണ്ടാകുന്നത്. അങ്ങനെ, മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ദ്രാവകത്തിൽ ചെയ്ത ആകെ ജോലി:
പ = പ 1 + പ 2 + പ 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ ചെയ്യുന്ന മൊത്തം ജോലി അതിന്റെ ഗതികോർജ്ജത്തിലെ മാറ്റത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് പ്രവൃത്തി-ഊർജ്ജ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു. അങ്ങനെ, നമുക്ക് വർക്ക് (W) നെ ഗതികോർജ്ജത്തിലെ മാറ്റം (EK 2 ‐ EK 1 ) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.
മുകളിലുള്ള സമവാക്യം നമുക്ക് ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
L 1 എന്ന അകലത്തിൽ ഒഴുകുന്ന ദ്രാവകത്തിന്റെ പിണ്ഡം ക്രോസ് സെക്ഷനിൽ A 1 = L 2 എന്ന അകലത്തിൽ ഒഴുകുന്ന ദ്രാവകത്തിന്റെ പിണ്ഡം (വിഭാഗം A 2 ). ഒരു ദ്രാവകത്തിന്റെ പിണ്ഡം, ഉദാഹരണത്തിന് m, A 1 L 1 ഉം A 2 L 2 ഉം ആണ് , ഇവിടെ A 1 L 1 = A 2 L 2 (L 2 എന്നത് L 1 നേക്കാൾ നീളമുള്ളതാണ് ).
ഇനി നമ്മൾ മുകളിലുള്ള സമവാക്യത്തിലെ m നെ m = ρ AL ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
ഇതാണ് ബെർണൂലി സമവാക്യം. പ്രവൃത്തി-ഊർജ്ജ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നമ്മൾ ബെർണൂലി സമവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്, അതിനാൽ ഇത് ഊർജ്ജ സംരക്ഷണ നിയമത്തിന്റെ ഒരു രൂപമാണ്.
കെറ്റെറാൻഗൻ :
പി = മർദ്ദം
ρ = ദ്രാവകത്തിന്റെ സാന്ദ്രത
v = ദ്രാവക പ്രവാഹ പ്രവേഗം
g = ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം
h = തറനിരപ്പിൽ നിന്നുള്ള ഫ്ലോ ട്യൂബിന്റെ/പൈപ്പിന്റെ ഉയരം
മുകളിലുള്ള ബെർണൂലി സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ ഫ്ലോ ട്യൂബിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അതിനാൽ മുകളിലുള്ള സമവാക്യം നമുക്ക് ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:
സമവാക്യത്തിലെ അളവുകളുടെ ആകെ തുകയ്ക്ക് ഫ്ലോ ട്യൂബിലുടനീളം ഒരേ മൂല്യമുണ്ടെന്ന് ഈ സമവാക്യം പറയുന്നു.
ഇനി ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം പരിശോധിക്കാം.
വിശ്രമാവസ്ഥയിലുള്ള ദ്രാവകങ്ങൾക്കായുള്ള ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം
ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് നിശ്ചലാവസ്ഥയിലുള്ള ദ്രാവകങ്ങൾക്കാണ് (സ്റ്റാറ്റിക് ദ്രാവകങ്ങൾ). ഒരു ദ്രാവകം നിശ്ചലാവസ്ഥയിലായിരിക്കുമ്പോൾ, അതിന് പ്രവേഗം ഇല്ല. അങ്ങനെ, v 1 = v 2 = 0. നിശ്ചലാവസ്ഥയിലുള്ള ഒരു ദ്രാവകത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ രൂപപ്പെടുത്താം:
h 2 ‐ h 1 = h ആണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
പി 1 − പി 2 = ρ ജി (എച്ച് 2 − എച്ച് 1 )
പി 1 − പി 2 = ρ ഘ
ഒരേ ഉയരമുള്ള ഫ്ലോ ട്യൂബുകൾക്കോ പൈപ്പുകൾക്കോ ഉള്ള ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം
ഫ്ലോ ട്യൂബിന്റെയോ പൈപ്പിന്റെയോ ഉയരം ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ, ബെർണൂലി സമവാക്യം ഇതിലേക്ക് മാറ്റപ്പെടും:
