Варијансата и стандардната девијација на единечните податоци
Статистиката е наука што ги проучува собирањето, анализата, толкувањето, презентирањето и организирањето на податоците. Еден важен аспект на статистиката е како ја мериме и разбираме варијабилноста во податоците. Две клучни мерки за варијабилност се варијацијата и стандардната девијација. Оваа статија ќе ги разгледа варијацијата и стандардната девијација детално, фокусирајќи се на еден збир на податоци, објаснувајќи ги дефинициите, формулите, чекорите за пресметка и давајќи практични примери за разјаснување на концептите.
Дефиниција на варијанса и стандардна девијација
Varian
Варијансата е мерка за тоа колку податоците се шират од средната вредност. Таа дава преглед на разновидноста или варијацијата во еден збир на податоци. Во математички термини, варијансата е просек од квадратите на отстапувањата на секоја податочна ставка од нејзината средна вредност.
Стандардна девијација
Стандардната девијација, позната и како стандардна девијација, е квадратен корен од варијансата. Таа дава информации за распределбата на податоците во истите единици како и оригиналните податоци, што го олеснува нивното толкување во контексти од реалниот живот.
Формули и пресметки
Varian
За да ја пресметаме варијансата (σ^2) на еден збир на податоци со големина n, можеме да ја користиме следната формула:
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n} \]
Димана:
– \( x_i \) е i-тата вредност на податоците.
– \( \bar{x} \) е средната вредност или просекот на податоците.
– n е бројот на податоци во множеството.
– (x_i – \bar{x})^2 е квадратот на разликата помеѓу секој податок и неговата средна вредност.
Стандардна девијација
Стандардната девијација (σ) е квадратен корен од варијансата, па затоа формулата е:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Чекори за пресметка
Чекор 1: Пресметајте го просекот на податоците (средна вредност)
Првиот чекор е да се пресмета просекот (средна вредност) од збирот на податоци. Просекот се пресметува со собирање на сите вредности на податоците и делење со бројот на вредности на податоците.
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
Чекор 2: Пресметајте ја разликата на секој збир на податоци во однос на средната вредност
Откако ќе се добие просекот, следниот чекор е да се пресмета разликата помеѓу секоја вредност на податоците и просекот (отстапувањето).
\[ d_i = x_i – \bar{x} \]
Чекор 3: Квадратизирај ја секоја девијација
Потоа, квадратирајте ја секоја девијација.
\[ d_i^2 = (x_i – \bar{x})^2 \]
Чекор 4: Собери ги сите квадратни отстапувања
Соберете ги сите квадратни резултати од претходниот чекор.
\[ \sum d_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
Чекор 5: Пресметка на варијанса
Поделете го збирот од квадратите на отстапувањата со бројот на податоци (n) за да ја добиете варијансата.
\[ \sigma^2 = \frac{\sum d_i^2}{n} \]
Чекор 6: Пресметка на стандардна девијација
Конечно, пресметајте ја стандардната девијација со земање на квадратниот корен од варијансата.
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Пример за пресметка
За да го разјасниме концептот на пресметување на варијанса и стандардна девијација, да го разгледаме следниов пример. Да претпоставиме дека го имаме следниов единствен збир на податоци: 4, 8, 6, 5, 3.
Чекор 1: Пресметајте го просекот од податоците
\[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]
Чекор 2: Пресметајте ја разликата на секој збир на податоци во однос на средната вредност
Разликата помеѓу секоја вредност на податоците и средната вредност:
– (4 – 5.2) = -1.2
– (8 – 5.2) = 2.8
– (6 – 5.2) = 0.8
– (5 – 5.2) = -0.2
– (3 – 5.2) = -2.2
Чекор 3: Квадратизирај ја секоја девијација
Квадратот на секое отстапување:
– (-1.2)^2 = 1.44
– 2.8^2 = 7.84
– 0.8^2 = 0.64
– (-0.2)^2 = 0.04
– (-2.2)^2 = 4.84
Чекор 4: Собери ги сите квадратни отстапувања
\[ \sum d_i^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8 \]
Чекор 5: Пресметка на варијанса
\[ \sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96 \]
Чекор 6: Пресметка на стандардна девијација
\[ \sigma = \sqrt{2.96} \approx 1.72 \]
Значи, во овој пример, варијансата на податоците е 2.96, а стандардната девијација е околу 1.72.
Толкување
Варијансата и стандардната девијација даваат важни информации за ширењето на податоците. Во примерот погоре, варијанса од 2.96 покажува дека просечната квадратна девијација на вредностите на податоците од средната вредност е 2.96. Стандардна девијација од 1.72 покажува дека, во просек, вредностите на податоците отстапуваат за 1.72 единици од средната вредност.
Стандардната девијација е полесна за толкување бидејќи има исти единици како и оригиналните податоци. На пример, во контекст на статистиката за приходи, ако податоците имаат стандардна девијација од 500 долари, тоа значи дека просечниот приход отстапува за 500 долари од просечниот приход.
Примена во секојдневниот живот
Разбирањето на варијансата и стандардната девијација може да се примени во различни области. Во финансиите, стандардната девијација може да се користи за мерење на инвестицискиот ризик. Во образованието, може да се користи за проценка на варијацијата во резултатите од тестовите меѓу учениците. Во производството, може да помогне во контролата на квалитетот со мерење на варијацијата во производството.
Заклучок
Варијансата и стандардната девијација се две клучни статистички алатки за разбирање на варијабилноста во еден збир на податоци. Со пресметување на варијансата, можеме да утврдиме колку се распространети податоците. Стандардната девијација, која е квадратен корен од варијансата, нуди поинтуитивно толкување и се мери во истите единици како и оригиналните податоци. Со разбирање и со можноста да ги пресметаме овие две мерки, можеме подобро да анализираме податоци и да донесуваме поинформирани одлуки.
