Бернулиева формула: Принципи и примени
Бернулиевиот принцип е фундаментален концепт во механиката на флуиди, откриен од Даниел Бернули, швајцарски научник, во 18 век. Овој принцип го објаснува односот помеѓу брзината на протокот на флуид и притисокот во тој проток. Во оваа статија детално ќе се разгледа Бернулиевата формула, нејзините основни концепти, математички изводи, примери за пресметка и нејзините примени во секојдневниот живот.
Разбирање на Бернулиевата формула
Бернулиевата формула наведува дека при идеален проток на флуид (без триење), количината на механичка енергија (потенцијална енергија, кинетичка енергија и притисок) по единица волумен е константна во текот на целиот проток. Оваа формула е изразена како:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{константа} \]
ди мана:
– \( P \) е притисокот на флуидот (во паскали, Pa),
– \( \rho \) е густината на течноста (во килограми на кубен метар, kg/m³),
– \(v \) е брзината на проток на флуид (во метри во секунда, m/s),
– \( g \) е забрзувањето поради гравитацијата (во метри во секунда на квадрат, m/s²),
– \( h \) е висината на флуидот над референтната точка (во метри, m).
Принципот на Бернули
Бернулиевиот принцип се базира на законот за зачувување на енергијата. При проток на флуиди, вкупната енергија во системот мора да остане константна ако не се додаде или отстрани енергија од системот. Вкупната енергија по единица волумен се состои од:
1. Енергија на притисок (\( P \)): Енергија предизвикана од притисок на флуидот.
2. Кинетичка енергија (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Енергија предизвикана од движење на флуид.
3. Гравитациска потенцијална енергија (\( \rho gh \)): Енергија предизвикана од положбата на флуид во гравитационо поле.
Математичко изведување на Бернулиевата формула
За да го разбереме изведувањето на Бернулиевата формула, разгледуваме мал елемент од флуид што се движи во течен тек со брзина (v) од точка 1 до точка 2. Ако претпоставиме дека нема загуба на енергија поради триење или топлина, вкупната енергија во точките 1 и 2 мора да биде иста.
Вкупната енергија во точката 1 (\( E_1 \)) е:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]
Вкупната енергија во точката 2 (\( E_2 \)) е:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Бидејќи вкупната енергија мора да биде константна:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Ова е она што се нарекува Бернулиева формула.
Пример за пресметка со користење на Бернулиева формула
Да претпоставиме дека имаме хоризонтална цевка со вода што тече од точката А до точката Б. Во точката А, брзината на водата е 2 m/s, а притисокот е 150,000 Pa. Во точката Б, брзината на водата е 4 m/s. Густината на водата е 1000 kg/m³. Пресметајте го притисокот во точката Б.
Користете ја Бернулиевата формула:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
Бидејќи цевката е хоризонтална, (h_A = h_B), па (rho gh) во обете точки може да се занемари:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Заменете ги познатите вредности:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} пати 1000 пати (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} пати 1000 пати (4)^2 \]
Пресметајте ја кинетичката енергија во обете точки:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Значи, притисокот во точката Б е 144,000 Pa.
Примена на Бернулиевиот принцип
1. Авиони: Принципот на Бернули се користи во дизајнирањето на крилата на авионите. Обликот на крилото на авионот е дизајниран така што брзината на воздухот над крилото е поголема отколку под крилото. Ова резултира со помал притисок над крилото и поголем притисок под крилото, создавајќи го подигнувањето што му овозможува на авионот да лета.
2. Тркачки возила: Аеродинамичниот дизајн на тркачките возила го користи Бернулиевиот принцип за зголемување на брзината и стабилноста. Спојлерите и дифузерите се користат за регулирање на протокот на воздух, зголемувајќи ја силата на притисок, што ја подобрува влечната сила на возилото на патот.
3. Проток на крв во телото: Принципот на Бернули важи и за протокот на крв низ крвните садови. Разликите во брзината на протокот на крв и притисокот во различни делови од телото може да се изучуваат за дијагностицирање на медицински состојби.
4. Вентуриемер: Уред што се користи за мерење на брзината на проток на течност во цевка. Вентуриемерот има стеснувачки дел, што предизвикува зголемување на брзината на проток на течност и намалување на притисокот во согласност со Бернулиевиот принцип. Разликата во притисокот помеѓу широките и тесните делови се користи за пресметување на брзината на проток.
5. Парфемски распрскувачи: Парфемските распрскувачи или распрскувачи за течност го користат Бернулиевиот принцип. Кога воздух се дува низ тесна цевка, воздушниот притисок околу крајот на цевката се намалува, влечејќи ја парфемската течност нагоре низ цевката и прскајќи ја како фина магла.
Фактори што влијаат врз примената на Бернулиевиот принцип
1. Триење: Во реалноста, течностите не се идеални и секогаш постои внатрешно триење (вискозитет) што предизвикува губење на енергија. Ова ја прави примената на Бернулиевиот принцип посложена.
2. Компресибилност на флуиди: Бернулиевиот принцип е полесен за примена кај некомпресибилни флуиди (како што е водата). За гасови или компресибилни флуиди, равенката мора да се прилагоди.
3. Турбуленција: Бернулиевиот принцип се однесува на ламинарен (правилен) тек. Кај турбулентниот (неправилен) тек, анализата станува посложена.
Студија на случај: Употреба на Бернулиевиот принцип во дизајнот на крилата на авионите
Дизајнот на авионското крило е класичен пример за Бернулиевиот принцип во акција. Закривениот горен и рамниот долен облик на крилото овозможуваат воздухот да тече побрзо над крилото отколку под него. Според Бернулиевиот принцип, поголемата брзина на протокот на воздух над крилото создава помал притисок отколку под крилото. Оваа разлика во притисокот ја создава силата на подигнување што му овозможува на авионот да лета.
Да претпоставиме дека авионот има површина на крилото од 25 м². Брзината на воздухот над крилото е 70 м/с, додека под крилото е 50 м/с. Густината на воздухот е 1.225 кг/м³. Пресметајте го добиениот лифт.
1. Пресметајте ја разликата во притисокот (\( \Delta P \)) користејќи ја Бернулиевата формула:
\[ P_{долу} – P_{горе} = \frac{1}{2} \rho (v_{горе}^2 – v_{долу}^2) \]
Заменете ги познатите вредности:
\[ \Делта P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
\[ \Делта P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]
\[ \Делта P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 2400 \]
\[ \Делта P = 1.225 \ пати 1200 \]
\[ \Делта P = 1470 \, \text{Pa} \]
2. Пресметајте ја силата на подигнување (\( F_{lift} \)):
\[ F_{лифт} = \Делта P \ пати A \]
\[ F_{лифт} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{лифт} = 36,750 \, \текст{
Н} \]
Значи, добиената сила на кревање е 36,750 њутни.
Заклучок
Бернулиевиот принцип е еден од основите на механиката на флуиди, кој го објаснува односот помеѓу брзината на проток на флуиди и притисокот. Со разбирање и примена на Бернулиевата формула, можеме да анализираме и дизајнираме различни системи што вклучуваат проток на флуиди, од авиони до мерачи на проток. Иако во пракса честопати мора да земеме предвид фактори како што се триење и турбуленција, Бернулиевиот принцип останува суштинска алатка во разбирањето на динамиката на флуиди и дизајнирањето ефикасни инженерски решенија.
