Моментот на инерција

1. Момент на инерција на честичката

Прегледајте ја ротирачката честичка. На честичката со маса m ѝ е дадена силата F, така што таа ротира околу оската O. Честичката е r оддалечена од оската на ротација. Прво, честичката е во мирување (v = 0). Откако ќе се помести под дејство на силата на F, честичките се движат со одредена брзина, така што честичките имаат тангенцијално забрзување. Односот помеѓу силата (F), масата (m) и тангенцијалното забрзување на честичките е изразен со равенката 3:

F = ma _tan (Равенка 3)

Честичките ротираат така што честичките имаат аголно забрзување. Односот помеѓу тангенцијалното забрзување и аголното забрзување е изразен со равенката 4:

a _tan = r α (Равенка 4)

Заменете го a во равенката 3 со a во равенката 4:

F = г-дин α

r F = mr ² α

τ = (mr2 ⁾ α (Равенка 5)

rF е моментот на сила, а mr2 ^е моментот на инерција на честичката. Равенката 5 ја наведува врската помеѓу моментот на сила, моментот на инерција и аголното забрзување на ротирачките честички. Равенката 5 е равенката на вториот Њутнов закон за ротирачки честички.

Моментот на инерција на честичка е производ од масата на честичката (m) и квадратот од растојанието помеѓу честичките со оската на ротација (r2 ⁾.

I = mr2 ⁽ Равенка 6)

I = момент на инерција на честичката, m = маса на честичката, r = растојание помеѓу честичката и оската на ротација. Равенката 6 се користи за одредување на моментот на инерција на честичката.

3.2 Примерни проблеми со моментот на инерција на честичката

Пример за проблем 1.

Честичка со маса од 2 кг била врзана за јаже долго 0.5 метри, а потоа ротирала. Колку изнесува моментот на инерција на честичките при ротација?

решение:

Јас = г-дин ²

I = (2 кг) (0.5 м) ²

I = 0.5 кг ^м2

Пример за проблем 2.

Две честички, секоја со маса од 2 кг и 4 кг, се поврзани со лесна жица, каде што должината на жицата е 2 метри. Не ја земајте предвид масата на жиците. Определете го моментот на инерција на двете честички, ако:

а) Оската на ротација се наоѓа помеѓу двете честички

решение:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

Јас = (2)(12) + (4)(12)

Јас = 2 + 4

I = 6 кг ^м2

б) Оската на ротација е на растојание од 0.5 метри од честичката со маса од 2 кг

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0,52 ⁾ + (4)( ^1,52 )

Јас = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Јас = 0.5 + 9

I = 9.5 кг ^м2

в) Оската на ротација е на растојание од 0.5 метри од честичката со маса од 4 кг

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)( ^0,52 )

Јас = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Јас = 4.5 + 1

I = 5.5 кг ^м2

Врз основа на резултатите од горенаведените пресметки, моментот на инерција е силно под влијание на локацијата на оската на ротација. Иако обликот и големината се исти бидејќи локацијата на оската на ротација е различна, моментот на инерција е исто така различен.

Честичките близу до оската на ротација имаат помал момент на инерција, додека честичките што се далеку од оската на ротација имаат поголем момент на инерција. Ако претпоставиме дека двете честички погоре се крути објекти, тогаш секоја честичка е близу до оската на ротација.

има помал момент на инерција од моментот на инерција на честичката подалеку од оската на ротација.

3.3 Момент на инерција на хомогено тврдо тело

Цврстите тела се составени од многу честички. Моментот на инерција на тврдо тело е вкупниот број на моменти на инерција на секоја честичка што го гради телото.

I = Σ ^mr2

I = m₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

За да го одредиме моментот на инерција на крут објект, треба да го разгледаме објектот кога ротира, бидејќи положбата на оската на ротација влијае на моментот на инерција на објектот. Моментот на инерција (I) на секоја честичка зависи и од масата (m) на честичката и квадратот на растојанието (r2 ⁾ на честичката од оската на ротација. Масата на сите честички што го градат објектот е масата на објектот.

Проблемот е што растојанието на секоја честичка од оската на ротација варира.

Прегледајте го намалувањето на формулата на моментот на инерција на тенок прстен со прсти R и маса M.

Ако оската на ротација е во центарот на прстенот, сите честички од тенкиот прстен се наоѓаат од оската на ротација. Моментот на инерција на тенок прстен е еднаков на моментот на инерција на сите честички:

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

Масата на сите честички = масата на тенкиот прстен (M)

_I = M ( r12 ₊ ^r22 + ^r32 ₊ … ^.. + _rn2 ⁾

Секоја честичка од тенкиот прстен е оддалечена r од оската на ротација, така што _r1 = r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Равенката на моментот на инерција на тенкиот прстен:

I = ^MR2

I = момент на инерција на тенкиот прстен, M = маса на тенкиот прстен, R = радиус на тенкиот прстен.

Што ако оската на ротација не е во центарот на прстенот? Ако оската на ротација не е во центарот на прстенот, формулата за моментот на инерција на тенкиот прстен не може да се изведе со користење на горенаведениот метод,

бидејќи растојанието на секоја честичка од оската на ротација е различно. Изведувањето на формулата за моментот на инерција за ваков проблем не е дискутирано во оваа тема.

Формулата на моментот на инерција за некои крути објекти

3.4 Пример за проблемот на моментот на инерција на хомогено тврдо тело

Пример за проблем 1:

Цилиндарот со прачка AB има маса од 3 кг кога се ротира низ B,

Моментот на инерција е 27 kg m ^2. Колку е моментот на инерција ако

ротирано низ C?

решение:

решение:

Формулата на моментот на инерција за хомогена цврста прачка (оската на ротација е во центарот на прачката):

I = 1/12 ^мл2

27 = (1/12) МЛ ²

(27)(12) = МЛ ²

324 = МЛ ²

Формулата на моментот на инерција на хомогена цврста прачка (оската на ротација на работ на прачката):

I = 1/3 ^мл2

I = 1/3 (324)

I = 108 кг ^м2