Аголен моментум

Аголен моментум

Количината на ротационото движење, која е идентична со масата (m) при линеарното движење, е моментот на инерција (I). Количината на ротационото движење, која е идентична со брзината (v) при линеарното движење, е аголната брзина (ω). Според тоа, ротирачкиот објект има аголен момент кој може да се пресмета со помош на равенката:

L = I ω

L = аголен момент (kg m ² /s), I = момент на инерција (kg m ² ), ω = аголна брзина (rad/s)

Примери за проблеми со аголниот моментум

Пример за проблем 1.

Честичка со маса од 0.5 грама се движи во круг со константна аголна брзина од 2 rad/s. Определете го аголниот моментум на честичката ако радиусот на патеката на честичката е 10 cm.

решение:

Моментот на инерција на честичката:

I = г-дин ² = (0.5 x 10 ^{-3 кг} )(1 x 10 ^-1 м) ² = (0.5 x 10 ^-3 кг)(1 x 10 ^-2 м2 ) = 0.5 x 10 ^-5 кг ^м2

Аголната брзина на честичката:

ω = 2 рад/с

Аголниот моментум на честичката:

L = (0.5 x 10 ^-5 кг ​​м2 ⁾ (2 рад/с) = 1 x 10 ^-5 кг ​​м2 ^/ с

Законот за зачувување на аголниот момент

Законот за зачувување на аголниот момент вели дека ако резултантниот момент на силата на тврдо тело при ротација е нула, тогаш аголниот момент на тврдото тело при ротација е секогаш константен. Законот за зачувување на аголниот момент може да се изведе математички со модифицирање на равенката на вториот Њутнов закон за аголен момент. Еве ја равенката на вториот Њутнов закон за аголниот момент:

Ако резултантниот момент на сила е нула, тогаш равенката погоре се менува во:

I _t = последен момент на инерција, I _o = почетен момент на инерција, ω _t = крајна аголна брзина, ω _o = почетна аголна брзина, L _t = последен аголен момент, L _o = почетен аголен момент.

Примери на проблеми од законот за зачувување на аголниот момент

Пример за проблем 1.

Хомоген цврст цилиндричен диск првично ротира околу својата оска со брзина од 4 rad/s. Масата и радиусот на дискот се 1 kg и 0.5 m. Ако над плочата се постави прстен кој има маса и радиус од 0.2 kg и 0.1 m и центарот на прстенот,

веднаш над центарот на дискот, тогаш дискот и прстенот ќе ротираат заедно со аголна брзина од ...

решение:

Момент на инерција на цврст цилиндар: I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg m ²

Момент на инерција на прстенот: I = mr ² = (0.2 kg)(0.1 m) ² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg m ²

Почетен аголен момент (L1 ₎ = Конечен аголен момент ( _L2 )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 кг м2 ⁾ (4 рад/с) = (0.125 кг м2 ⁺ 0.002 кг м2 ⁾ ( _ω2 )

(0.5) = (0.127)( _ω2 )

ω2 = _0.5 : 0.127

ω2 = ₄ рад/с

Концептуални прашања и одговори

1. Што е аголен моментум?
   Одговор: Аголниот импулс е мерка за количината на ротација што ја има еден објект, земајќи ја предвид неговата маса и облик. Тој е ротационен аналог на линеарниот импулс.
2. Како математички се одредува аголниот моментум?
   Одговор: Аголниот моментум (L) е дефиниран како $L=r\times p$, Каде што $r$ е векторот на позиција од оската на ротација до точката на примена, и $p$ е линеарниот импулс.
3. Дали аголниот моментум е скаларна или векторска величина?
   Одговор: Аголниот импулс е векторска величина.
4. Која е единицата за аголен момент во SI системот?
   Одговор: Единицата за аголен момент во SI системот е килограм-метар квадратен во секунда (kg·m²/ и)
5. Како се зачувува аголниот моментум?
   Одговор: Во затворен систем без надворешни вртежни моменти, вкупниот аголен момент останува константен.
6. Кој е принципот на зачувување на аголниот моментум?
   Одговор: Принципот наведува дека вкупниот аголен момент на затворен систем останува константен освен ако не дејствува надворешен вртежен момент.
7. Како спинот на уметничко лизгање е поврзан со аголниот моментум?
   Одговор: Кога уметничко лизгач ги приближува рацете и нозете до телото за време на вртење, го намалува својот момент на инерција, што предизвикува побрзо вртење. Ова го покажува зачувувањето на аголниот момент.
8. Која е врската помеѓу вртежниот момент и аголниот момент?
   Одговор: Вртежен момент ($\tau$) е брзината на промена на аголниот момент. Математички, τ=dл/сек​.
9. Дали е можно објектот да има аголен момент без аголна брзина?
   Одговор: Не, ако некој објект има аголен импулс, тој има и аголна брзина. Големината и насоката на аголниот импулс зависат и од моментот на инерција и од аголната брзина.
10. Како моментот на инерција влијае на аголниот моментум?
    Одговор: Аголниот импулс (L) е производ од моментот на инерција (I) и аголната брзина (ω). US $L=I\omega$, зголемувањето на моментот на инерција за дадена аголна брзина ќе го зголеми аголниот импулс.
11. Која е разликата помеѓу спинот и орбиталниот аголен момент во квантната механика?
    Одговор: Спиналниот аголен момент е суштинско својство на честичките, како што се електроните, и не произлегува од движењето во вселената. Орбиталниот аголен момент, од друга страна, произлегува од движењето на честичката околу централна точка.
12. Каква улога игра аголниот моментум во формирањето на планетарните системи?
    Одговор: Како што молекуларниот облак се колабира за да формира ѕвезди и планети, зачувувањето на аголниот моментум предизвикува материјалот да се израмни во диск околу новородената ѕвезда, од кој можат да се формираат планети.
13. Како жироскопот ја одржува својата ориентација во вселената?
    Одговор: Вртливиот жироскоп има аголен момент. Кога надворешен вртежен момент се обидува да ја промени својата ориентација, жироскопот прецесира, односно ја менува својата оска на ротација, во насока нормална на применетиот вртежен момент поради зачувувањето на аголниот момент.
14. Што предизвикува прецесија кај вртелешка?
    Одговор: Прецесијата кај вртливата плоча е предизвикана од вртежниот момент поради гравитацијата што дејствува врз центарот на масата на врвот, кој е поместен од неговата точка на вртење. Овој вртежен момент резултира со промена на насоката на аголниот момент на врвот, предизвикувајќи негова прецесија.
15. Зошто ѕвездите се сплескаат на своите полови?
    Одговор: Како што ѕвездите ротираат, тие доживуваат центрифугална сила што ја турка материјата нанадвор. Овој ефект е посилен на екваторот отколку на половите, што доведува до нивна сплесната или сплескана форма.
16. Како е поврзан аголниот моментум со вториот Кеплеров закон?
    Одговор: Вториот Кеплеров закон наведува дека отсечка што ги поврзува планетата и Сонцето поминува еднакви површини во еднакви временски интервали. Ова е последица на зачувувањето на аголниот моментум.
17. Зошто мачката секогаш слетува на нозе кога ќе падне?
    Одговор: Мачките го користат правилото за зачувување на аголниот момент. Со извиткување на телата и менување на моментите на инерција во воздух, тие можат да се преориентираат за да слетаат на нозе без да ги прекршат законите за зачувување на интензитетот.
18. Како е поврзан магнетниот момент со аголниот момент кај електроните?
    Одговор: Магнетниот момент на електронот произлегува од неговиот спин и орбиталниот аголен момент. Магнетниот момент е пропорционален на аголниот момент на електронот.
19. Што е аголен момент во однос на поларни координати?
    Одговор: Во поларни координати, аголниот моментум $L$ за точкаста маса може да се изрази како $L=mrv$, Каде што $m$ е масата, $r$ е радијалното растојание, и $v$ е тангенцијалната брзина.
20. Што се случува со аголниот момент на зафат на затворен систем кога два објекти се судираат?
    Одговор: Во затворен систем каде што два објекти се судираат, вкупниот аголен момент пред судирот е еднаков на вкупниот аголен момент по судирот, под претпоставка дека не дејствуваат надворешни вртежни моменти врз системот.

Проблеми и решенија

1. Задача: Точкаста маса m = 2 kg се движи со брзина v = 3 m/s во круг со радиус r = 4 m. Пресметајте го нејзиниот аголен момент околу центарот на кругот.

Решение: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m ² /s

2. Задача: Цврста сфера со маса 3 kg и радиус 0.5 m ротира околу својот дијаметар со аголна брзина ω = 2 rad/s. Колкав е нејзиниот аголен момент?

Решение: За цврста сфера, I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Задача: Точкаста маса од 3 kg се движи со брзина од 4 m/s по права линија. Колкав е нејзиниот аголен момент околу точка оддалечена 5 m од нејзината линија на движење?

решение:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 кг.м² ^/ с

4. Задача: Диск со маса 5 kg и радиус 3 m ротира со аголна брзина од 2 rad/s. Пресметајте го неговиот аголен момент.

Решение: За диск, I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Задача: Прачка со должина 4 m и маса 2 kg ротира околу едниот крај со аголна брзина од 3 rad/s. Најдете го нејзиниот аголен момент.

Решение: За прачка околу едниот крај, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Проблем: Колкава е промената на аголниот момент ако ротирачкото тело ја дуплира својата аголна брзина?

Решение: Односот помеѓу аголниот момент (L) и аголната брзина (ω) е $L=I\times \omega$ . Ако ω се удвои, и аголниот момент ќе се удвои.

7. Проблем: Ако радиусот на кружната патека на подвижна честичка се удвои, а брзината останува константна, за кој фактор се менува аголниот моментум?

Решение: Аголен импулс, $L=m\times r\times v$ . Ако r се удвои, L исто така ќе се удвои.

8. Задача: Дете со маса од 30 кг стои на работ на вртелешка која мирува. Радиусот на вртелешката е 2 m. Ако детето почне да трча со брзина од 2 m/s во однос на земјата по должината на работ, пронајдете го аголниот моментум на детето во однос на центарот.

Решение: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m ² /s

9. Задача: Цилиндер со маса 6 kg и радиус 2 m ротира околу својата централна оска со аголна брзина од 5 rad/s. Пресметајте го неговиот аголен момент.

Решение: За цилиндар, I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2 ² ×5=120 кг.м² ^/ с

10. Проблем: Кој ќе биде новиот аголен импулс на телото ако неговиот момент на инерција се преполови, а неговата аголна брзина се зголеми трипати?

Решение: Дадено е $L=I\times \omega$ , ако $I$ се преполови, а $\omega$ се тројно, новото $L$ ќе биде 1/2×3=1.5 × од оригиналното.

11. Задача: Обрач со маса 2kg и радиус 1m ротира со аголна брзина од 4 rad/s. Пресметајте го неговиот аголен момент.

Решение: За обрач, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 кг.м² ^/ с

12. Задача: Вентилаторот има лопатки со должина од 0.5 m и вкупна маса од 1 kg. Ако ротира со аголна брзина од 10 rad/s, одредете го неговиот аголен момент.

Решение: Под претпоставка дека лопатките на вентилаторот се како прачки што ротираат околу едниот крај, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5 ² ×10=0.833 кг.м² ^/ с

13. Задача: Пресметајте го аголниот момент на Земјата околу нејзината оска поради нејзината ротација. Дадено: Маса на Земјата =5.972× ¹⁰²⁴ kg , Радиус $r=6371\text{km}$ , ω = 7.27 × 1 0 ⁻⁵ rad/s.

Решение: Претпоставувајќи дека Земјата е цврста сфера, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Проблем: Дете се движи кон центарот на ротирачка платформа. Дали аголниот момент се зголемува, се намалува или останува ист?

Решение: Аголниот импулс е зачуван. Како што детето се движи кон центарот, моментот на инерција се намалува. За да се зачува аголниот импулс, аголната брзина се зголемува. Така, аголниот импулс останува ист.

15. Проблем: Ако кинетичката енергија на ротирачко тело се удвои, за кој фактор се менува неговиот аголен момент?

Решение: Кинетичка енергија K = 1/2 ​I ω ² и Аголен импулс $L=I\omega$ . Ако кинетичката енергија се удвои и $I$ остане константен, ω ² се удвојува. Ова имплицира дека $\omega$ се зголемува за фактор √ 2 ​.$Така,\; L$ исто така се зголемува за фактор √ 2 ​.

16. Задача: Тркало од велосипед со радиус од 0.3 m има раб со маса од 1.5 kg. Ако ротира со аголна брзина од 5 rad/s, пронајдете го неговиот аголен момент.

Решение: Претпоставувајќи дека раб е обрач, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Проблем: Лизгачка на мраз ги влече рацете навнатре додека се врти. Што се случува со нејзиниот аголен момент?

Решение: Аголниот импулс на лизгачот е зачуван. Со повлекување на рацете навнатре, тој го намалува својот момент на инерција и на тој начин се врти побрзо (зголемена аголна брзина) за да го зачува својот аголен импулс.

18. Задача: Замаецот има момент на инерција од 0.2 kg.m ² kg.m ² и ротира со аголна брзина од 10 rad/s. Најдете го неговиот аголен момент.

решение:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 кг.м2 / с^​

19. Проблем: Системот има нето надворешен вртежен момент од нула кој дејствува врз него. Што можете да кажете за неговиот аголен момент?

Решение: Ако нето надворешниот вртежен момент е нула, тогаш според правилото за зачувување на аголниот импулс, вкупниот аголен импулс на системот останува константен.

20. Задача: Точкеста маса m = 5 kg се движи со брзина v = 3 m/s нормална на линијата што ја поврзува со точката P. Ако растојанието од точката P е 4 m, пронајдете го нејзиниот аголен импулс околу точката P.

решение:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s