Очекувана вредност на биномната распределба
Биномната распределба е една од најчесто среќаваните дискретни распределби на веројатност во статистиката и веројатноста. Оваа распределба го опишува бројот на успеси во серија независни бинарни обиди (обиди со само два исхода: успех или неуспех). За подобро да се разбере биномната распределба, важно е да се разбере концептот на очекувана вредност, кој ја опишува просечната вредност на серија повторени обиди на долг рок. Оваа статија ќе го разгледа концептот на очекувана вредност во контекст на биномната распределба.
Дефиниција на биномна распределба
Биномната распределба се јавува во контексти каде што извршуваме голем број идентични и независни обиди, а секое обиди има два меѓусебно исклучувачки исходи, обично наречени „успех“ и „неуспех“. На пример, фрлање паричка (глави или опашки), одговарање на испитно прашање (точно или неточно) или медицинско испитување (излечен или неизлечен).
Биномната распределба е дефинирана со два параметри:
– n, број на обиди.
– p, веројатноста за успех на секој обид.
Грубо кажано, ако X е случајна променлива што го претставува бројот на успеси во n обиди, тогаш X следи биномна распределба со параметри n и p, означени како X ~ Binomial(n, p).
Функција на веројатност
Функцијата на веројатност на биномната распределба е како што следува:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
ди мана:
– \( \binom{n}{k} \) е биномниот коефициент, кој се пресметува како \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( k \) е посакуваниот број на успеси.
– \(n \) е бројот на обиди.
– \( p \) е веројатноста за успех на секој обид.
– \((1-p) \) е веројатноста за неуспех во секое испитување.
Очекувана вредност
Очекуваната вредност или средна вредност на распределбата на веројатноста е една од најважните мерки за централна локација. За биномната распределба, очекуваната вредност на случајна променлива X што следи по Binomial(n, p) е:
\[ E(X) = np \]
Доказ за очекувана вредност
За да разбереме зошто очекуваната вредност на биномната распределба е np, можеме да го користиме својството на линеарност на очекуваната вредност и да видиме како бинарните променливи се собираат за нивниот придонес.
Да го дефинираме \(X \) како број на успеси во n бинарни обиди. Поконкретно, нека \(X_i \) е случајна променлива што го означува исходот од i-тиот обид, каде \(X_i = 1 \) ако i-тиот обид е успешен, и \(X_i = 0 \) ако е неуспешен. Потоа, можеме да го напишеме \(X \) како:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Бидејќи секоја \(X_i \) е бинарна променлива со веројатност за успех p, очекуваната вредност на \(X_i \) е:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
Можеме да го користиме својството на линеарност на очекуваната вредност за очекуваната вредност на X:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
Ова покажува дека очекуваната вредност на биномната распределба е np.
Илустративен пример
Да го разгледаме случајот каде што фрламе фер паричка 10 пати. Да прашаме која би била очекуваната вредност од бројот на фрлања што резултираат со глави.
Во овој случај:
– n = 10 (број на фрлања парички)
– p = 0.5 (веројатност за добивање глави, бидејќи паричката е фер)
Значи, очекуваната вредност е:
\[ E(X) = np = 10 \times 0.5 = 5 \]
Ова значи дека ако фрламе паричка 10 пати постојано на долг рок, во просек ќе добиеме „глави“ 5 пати.
Варијанс и стандардна девијација
Покрај очекуваната вредност, важно е да се разбере и варијансата и стандардната девијација на биномната распределба.
За биномната распределба, варијансата \( \sigma^2 \) и стандардната девијација \( \sigma \) се како што следува:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Варијансата мери колку далеку податоците се распределени од очекуваната вредност. Стандардната девијација е квадратен корен од варијансата и исто така го мери ширењето на податоците, но во истите единици како и оригиналните податоци.
Заклучок
Биномната распределба е фундаментален концепт во статистиката и веројатноста, кој често се среќава во различни апликации во реалниот свет, од бизнис до општествени науки и биологија. Очекуваната вредност на биномната распределба, пресметана како np, дава важен увид во просечниот број на успеси во серија бинарни обиди. Со разбирање на концептите на очекувана вредност, варијанса и стандардна девијација, можеме да добиеме појасно разбирање за карактеристиките на биномната распределба и како таа опишува одредени феномени во секојдневниот живот.
Ова знаење е исклучително корисно не само во анализата на податоци и статистиката, туку и во донесувањето одлуки што бара проценка на веројатноста и неизвесноста. Разбирањето на очекуваната вредност и биномната распределба може да ни помогне да правиме поточни предвидувања и да донесуваме поинформирани одлуки.
