Пример прашања и дискусија: Варијансата и стандардната девијација на единечни податоци
Статистиката е гранка на математиката која се занимава со собирање, анализа, толкување, презентирање и организирање на податоци. Два важни концепта во статистиката се варијансата и стандардната девијација. Оваа статија детално ќе разгледа како да се пресмета варијансата и стандардната девијација на еден збир на податоци преку неколку примери на проблеми.
Разбирање на варијансата и стандардната девијација
Варијансата е мерка што квантифицира колку далеку се распределени броевите во еден збир на податоци од средната вредност или просекот. Варијансата се изразува во квадратни единици од оригиналните податоци, што честопати го отежнува нивното толкување.
Стандардната девијација е квадратен корен од варијансата. Таа обезбедува поинтуитивна мерка за тоа колку податоците генерално отстапуваат од средната вредност бидејќи нејзините единици се исти како и оригиналните единици на податоците.
Општа формула
За единечни податоци, формулата за варијансата (sigma^2) и стандардната девијација (sigma) на популацијата е како што следува:
1. Варијанса (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Стандардна девијација (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Каде:
– \( N \) е бројот на податоци во популацијата.
– \( x_i \) е i-тата вредност на податоците.
– \( \mu \) е средната вредност или просекот на податоците.
Ако ги пресметаме варијансата и стандардната девијација на примерокот, тогаш горенаведената формула е малку изменета:
1. Варијанса на примерокот (s²):
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Примерок на стандардна девијација(и):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Каде:
– \(n \) е бројот на податоци во примерокот.
– \( \bar{x} \) е средната вредност или просекот на примерокот.
Пример прашања и дискусија
Пример за прашање 1:
Со оглед на следните податоци:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Пресметајте ја варијансата и стандардната девијација на податоците!
Чекори за решение:
1. Пресметување на просечната вредност (средна вредност) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Пресметајте ја разликата помеѓу податоците и просекот, потоа пресметајте ја на квадрат:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Собирање на сите резултати добиени на квадрат:
\[
\збир (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Пресметување на варијансата (σ²) на податоците за популацијата:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Забелешка: Бидејќи овие податоци се наведени како податоци за населението, делиме со 6.
5. Пресметување на стандардна девијација (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \приближно 1.886
\]
Значи, варијансата на податоците е 3.559, а стандардната девијација е 1.886.
Пример за прашање 2:
Со оглед на следните примерочни податоци:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Пресметајте ја варијансата и стандардната девијација на примерокот!
Чекори за решение:
1. Пресметување на просекот (средна вредност) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Пресметајте ја разликата помеѓу податоците и просекот, потоа пресметајте ја на квадрат:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Собирање на сите резултати добиени на квадрат:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Пресметување на варијансата на примерокот (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Забелешка: Бидејќи ова се примерни податоци, делиме со 5 (n-1).
5. Пресметување на стандардна девијација (и):
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Значи, варијансата на примерочните податоци е 5.351, а стандардната девијација е 2.313.
Заклучок
Пресметувањето на варијансата и стандардната девијација е од витално значење за разбирање на тоа како се распределени податоците во рамките на даден сет. Додека варијансата обезбедува теоретска мерка за дисперзија во квадрати на оригиналните единици, стандардната девијација ја толкува мерката за дисперзија во однос на оригиналните единици на податоците, што го олеснува разбирањето. Во анализата на податоци, овие две мерки често се користат за проценка на варијабилноста на податоците и донесување статистички одлуки.
Со разбирање на потребните чекори и формули, лесно можеме да пресметаме варијанса и стандардна девијација за различни ситуации со кои се соочуваме при секојдневното собирање и анализа на податоци. Се надеваме дека оваа статија ќе ни овозможи подлабоко разбирање на концептите на варијанса и стандардна девијација во единечни збирки податоци.
