Пример прашања што дискутираат за употребата на тригонометриски коефициенти
Тригонометријата е гранка на математиката што ги проучува односите меѓу страните и аглите на триаголниците. Разбирањето на тригонометријата е клучно бидејќи често се користи во различни области, вклучувајќи архитектура, инженерство, астрономија, па дури и криптографија. Оваа статија ќе разгледа неколку примери на проблеми и ќе ги разгледа во контекст на користење на тригонометриски односи.
Основни концепти на тригонометрија
Пред да се осврнеме на примерите за проблеми, да разгледаме некои основни концепти во тригонометријата. Во правоаголен триаголник, често се користат три главни тригонометриски функции: синус, косинус и тангента.
– Синусот (sin) на аголот е односот на должината на страната спротивна на аголот и должината на хипотенузата.
\[
\sin \theta = \frac{\text{предна страна}}{\text{хипотенуза}}
\]
– Косинусот (cos) на агол е односот на должината на страната соседна на аголот и должината на хипотенузата.
\[
\cos \theta = \frac{\text{соседна страна}}{\text{хипотенуза}}
\]
– Тангентата (тен) на аголот е односот на должината на страната спротивна на аголот и должината на страната соседна на аголот.
\[
\tan \theta = \frac{\text{предна страна}}{\text{странична страна}}
\]
Пример за прашање 1: Пресметување на висината на кулата
Прашање: Набљудувач стои на 50 метри од кулата и го мери аголот на надморска височина на врвот на кулата, кој е 30 степени. Определете ја висината на кулата.
Решение: За да го решиме овој проблем, можеме да ја користиме тангентната функција во тригонометријата. Бидејќи го знаеме аголот на елевација и хоризонталното растојание од набљудувачот до кулата, можеме да напишеме:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{висина на кулата}}{\text{хоризонтално растојание}}
\]
Заменете ги познатите вредности:
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
Познато е дека \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), така што:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Потоа, висината на кулата, \(h\), може да се пресмета со множење на двете страни од равенката со 50:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87 \, \text{метар}
\]
Висината на кулата е околу 28.87 метри.
Пример за прашање 2: Одредување на растојание со помош на косинус
Прашање: Брод се движи 10 км источно, потоа го менува курсот 60 степени северно и плови 15 км. Определете го растојанието од почетната точка до бродот.
Дискусија: За да го решиме овој проблем, можеме да го користиме правилото за косинус во тригонометријата. Ако го прикажеме патувањето на бродот во координатен систем, ќе добиеме триаголник со страни од 10 km и 15 km и агол од 60 степени. Можеме да го користиме правилото за косинус за да го најдеме растојанието помеѓу почетната точка на бродот и неговата конечна положба.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Димана:
– \(a = 10 \)
– \( b = 15 \)
– \( C = 60^\циркус \)
Заменете ги познатите вредности:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 √ 10 √ 15 √ ...
\]
Знаеме дека \(\cos 60^\circ = 0.5\), тогаш:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 = 10 = 15 = 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = 175\приближно 13.23\, \text{км}
\]
Значи, растојанието од почетната точка до бродот е околу 13.23 км.
Пример за прашање 3: Користење на синус за одредување на страните на триаголник
Прашање: Во триаголник, двете страни се 7 cm и 10 cm, со агол меѓу нив од 45 степени. Пресметај ја должината на третата страна на триаголникот.
Дискусија: Можеме да го користиме законот за синусите за да го решиме овој проблем. Според законот за синусите, за триаголник со страни \(a\), \(b\) и \(c\) и агол \(C\) помеѓу страните \(a\) и \(b\):
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Сепак, во овој случај, можеме директно да го користиме законот за косинуси за да ги олесниме работите. Законот за косинуси гласи:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Димана:
– \(a = 7 \)
– \( b = 10 \)
– \( C = 45^\циркус \)
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), така што:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
Пресметување на вредноста на \(c \):
\[
c приближно 149 – 70 квадратни метри 2}} приближно 5.97 см
\]
Значи, должината на третата страна на триаголникот е околу 5.97 см.
Заклучок
Тригонометријата е многу корисна алатка за решавање на разни проблеми поврзани со триаголници и агли. Со добро разбирање на синусот, косинусот, тангентата и законите на тригонометријата, можеме да решиме многу практични проблеми. Оваа статија дискутира за неколку примери за користење на тригонометриски односи, за кои се надеваме дека ќе им помогнат на читателите да го продлабочат своето разбирање.
