Пример прашања што ја дискутираат веројатноста за сложени настани
Вовед во веројатноста на сложени настани
Веројатноста е гранка на математиката што ја проучува веројатноста за случување на некој настан. Веројатноста за сложен настан е веројатноста за настан што вклучува повеќе од еден настан. На пример, веројатноста за фрлање парен број на коцка и ас од шпил карти за играње се примери за сложени настани. Оваа статија ќе разгледа неколку примери за проблеми и ќе ја разгледа веројатноста за сложени настани.
Основен концепт на веројатност на сложени настани
Постојат два вида на сложени настани:
1. Меѓусебно исклучувачки настани: Два настани што не можат да се случат истовремено. На пример, при фрлање коцка, настаните на фрлање 2 и 5 се меѓусебно исклучувачки настани бидејќи е невозможно да се фрлат двата броја истовремено.
2. Настани што не се меѓусебно исклучувачки: Два настани што можат да се случат истовремено. На пример, при извлекување карти за играње, настаните на добивање карта срце (♥) и карта со бројот 10 се настани што не се меѓусебно исклучувачки бидејќи постои карта срце со бројот 10.
Еве неколку основни формули што се користат за пресметување на веројатноста за сложени настани:
– P(A или B) (за меѓусебно неисклучливи настани): (P(A ≤ шолја B) = P(A) + P(B) – P(A ≤ шолја B))
– P(A или B) (за меѓусебно исклучувачки настани): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
– P(A и B) (за независни настани): (P(A) = P(A) пати P(B))
Пример прашања и дискусија
Пример за прашање 1: Коцки
Прашање:
Колкава е веројатноста да се добие парен број или број поголем од 4 на коцка?
Пембахасан:
Прво, да ги дефинираме настаните:
– Настан А: Добивање парен број (2, 4, 6)
– Настан Б: Добивање број поголем од 4 (5, 6)
Потоа, ја одредуваме веројатноста за секој настан:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Бидејќи постои број 6 кој е вклучен и во настаните А и во настаните Б, треба да пресметаме \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (бидејќи само еден број, имено 6, е вклучен и во A и во B)
Со користење на формулата за настани што не се меѓусебно исклучуваат:
\[P(A ≤³ B) = P(A) + P(B) – P(A ≤≳ B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Да ги направиме именителите на овие дропки исти:
\[P(A ≤50 мл) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Значи, веројатноста да се добие парен број или број поголем од 4 е \(\frac{2}{3}\).
Пример прашање 2: Карти за играње
Прашање:
Колкава е веројатноста да се добие ас или пик од шпил карти за играње?
Пембахасан:
Прво, да ги дефинираме настаните:
– Настан А: Добивање на карта Ас (вкупно 4, по една за секоја боја)
– Настан Б: Добивање карта за пик (вкупно 13)
Потоа, ја одредуваме веројатноста за секој настан:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Бидејќи Асот пик е вклучен и во настаните А и Б, треба да пресметаме \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Со користење на формулата за настани што не се меѓусебно исклучуваат:
\[P(A ≤³ B) = P(A) + P(B) – P(A ≤≳ B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Да ги направиме именителите на овие дропки исти:
\[
P(A ≤ шолја B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Значи, веројатноста да се добие Ас или пик е \(\frac{4}{13}\).
Пример за проблем 3: Топка во кутија
Прашање:
Во кутија има 3 црвени топчиња, 4 сини топчиња и 5 зелени топчиња. Ако едно топче се извлече случајно, која е веројатноста да се добие црвено или зелено топче?
Пембахасан:
Прво, да ги дефинираме настаните:
– Настан А: Добивање црвена топка (број 3)
– Настан Б: Добивање зелена топка (број 5)
Потоа, ја одредуваме веројатноста за секој настан:
– Вкупен број на топчиња = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Бидејќи ниедна топка не може да биде и црвена и зелена во исто време, овие настани меѓусебно се исклучуваат:
\[P(A ≤ шолја B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Да ги направиме именителите на овие дропки исти:
\[
P(A ≤12) + ≤12 = ≤8 = ≤2 = ≤3
\]
Значи, веројатноста да се добие црвена или зелена топка е \(\frac{2}{3}\).
Пример за прашање 4: Две монети
Прашање:
Ако се фрлат две монети истовремено, која е веројатноста дека ќе се појави барем една глава?
Пембахасан:
Го дефинираме Настанот А: доживување на барем една слика.
Постојат четири можни исходи од фрлање две монети:
1. НХ
2. ХТ
3. ТХ
4. ТТ
Настаните што содржат барем една слика се:
– ХТ
– ТХ
– ТТ
Да ја пресметаме веројатноста за секое од нив:
– Број на можни настани (вкупно): 4
– Број на настани што содржат барем една слика: 3
\[
P(A) = \frac{Број на настани со најмалку една глава}{Вкупен број на настани} = \frac{3}{4}
\]
Значи, веројатноста да се појави барем една слика е \(\frac{3}{4}\).
Заклучок
Дискусијата за горенаведените проблеми покажува како можеме да ја пресметаме веројатноста за сложен настан, без разлика дали е меѓусебно исклучив или не е меѓусебно исклучив. Со разбирање на основните концепти и користење на точните формули, можеме да ја одредиме веројатноста за одредени комбинации на настани што се случуваат во различни секојдневни ситуации. Продолжете да ги вежбате вашите вештини со разни проблеми за да станете повешти во одредувањето на веројатноста за сложени настани.
