Пример прашања што дискутираат за кругови и тангенти
Круговите се важна тема во матричната геометрија, каде што се демонстрираат длабоки концепти за растојание, агли и облик. Еден концепт што често се дискутира во оваа тема е тангентата на круг. Во оваа статија, ќе разгледаме неколку примери на проблеми што вклучуваат кругови и тангенти.
Основно разбирање на кругови и тангенти
Лингкаран
Круг е геометриска форма формирана од множеството од сите точки во рамнината што се на фиксно растојание од дадена точка наречена центар на кругот. Ова фиксно растојание се нарекува радиус на кругот.
Тангента
Тангента на круг е линија што ја допира кругот во точно една точка. Оваа точка се нарекува точка на тангенција. Тангентите имаат неколку важни својства, вклучувајќи:
– Тангентната линија е секогаш нормална на радиусот на кругот во точката на тангенција.
– Должината на тангентата од точка надвор од кружницата до кружницата е иста ако од таа точка се повлечат две тангенти.
Примерни прашања и дискусии
Подолу ќе презентираме неколку примерни прашања што детално го дискутираат концептот на кругови и тангенти.
Пример за прашање 1: Наоѓање на должината на тангентната права
Прашање:
Дадена е кружница со центар (O) и радиус (r = 6, cm). Од точката (P) надвор од кружницата, која е оддалечена 10 cm од центарот на кружницата, кон кружницата се нацртани две тангенти (PA) и (PB). Пресметајте ја должината на тангентата (PA).
Пембахасан:
Во овој проблем, можеме да ја користиме Питагоровата теорема. Нацртај триаголник \(\триаголник OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (растојание од надворешната точка до центарот на кругот)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (радиус на кругот)
– \(PA\) е тангентната линија што мора да се најде
\[
ОП^2 = ОА^2 + ПА^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Значи, должината на тангентната линија \(PA\) е 8 cm.
Пример прашање 2: Наоѓање на точката на тангенција
Прашање:
Дадена е кружница со равенката \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) и права \(y = 2x + 1\). Определете ја точката на допир помеѓу кружницата и правата.
Пембахасан:
Прво, го одредуваме центарот и радиусот на кругот:
– Центар \(O(3, 4)\)
– Радиус (r = 25 = 5)
За да ја пронајдеме точката на тангенција, да претпоставиме дека точката на тангенција е \(T(x_1, y_1)\), која исто така лежи на правата \(y = 2x + 1\). Потоа:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) исто така мора да ја задоволи равенката на кругот:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Заменете \(y_1 = 2x_1 + 1\) во кружната равенка:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Треба да пресметаме два квадрати.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Комбинирајте ги двата резултати:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Одземете 25 од двете страни:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Решете ја квадратната равенка:
\[
x_1 = 18 мм 18^2 + 4 пати 5 пати 7}}{2 пати 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2 \sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4 \sqrt{29}
\]
Пресметајте ја вредноста на \(y_1\):
Што го задоволува y = 2x + 1:
– Ако \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), тогаш \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Ако \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), тогаш \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Евалуација:
Значи, добиваме две пресечни точки на равенката на кругот со таа права.
Пример за прашање 3: Одредување на равенката на тангентна права
Прашање:
Дадена е кружница со равенката \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Определете ја равенката на тангентната права на кружницата што минува низ точката \((6, 7)\).
Пембахасан:
Тангентата на круг со центар (h, k) и радиус (r) од позната надворешна точка може да се пресмета со равенката:
Тангентната права поминува низ надворешната точка \((x_1, y_1)\):
\[
(x - 2) (x_1 - 2) + (y - 3) (y_1 - 3) = 20
\]
Заменете ја надворешната точка \((6, 7)\):
\[
(x - 2) (6 - 2) + (y - 3) (7 - 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Равенката на тангентната линија е:
\[
x + y = 9
\]
Значи, варијацијата на равенката на линијата низ точката на кружната линија е многу голема и може да се промени во зависност од резултатот или визуелната претстава.
Заклучок
Дискусијата за кругови и тангенти опфаќа неколку фундаментални аспекти на математиката, од примена на основни формули како што е Питагоровата теорема до решавање на квадратни равенки. Преку овие примери, можеме да развиеме подобро разбирање за тоа како да ги примениме овие концепти во донекаде сложени ситуации. Се надеваме дека оваа статија помогна да се добие јасна слика за тоа како да се пристапи и да се решат проблеми што вклучуваат кругови и тангенти.
