Примерни прашања и дискусија за корелација на производниот момент
Корелацијата производ-момент, позната и како Пирсонова корелација, е статистички метод што се користи за мерење на јачината и насоката на линеарна врска помеѓу две променливи. Овој метод е корисен во различни области, од академски истражувања и бизнис анализа до евалуација на експерименти во природните науки. Оваа статија ќе разгледа неколку примери на проблеми и нивните решенија за пресметување на корелацијата производ-момент.
Пендахулуан
Пред да се осврнеме на пример прашањата, добра идеја е да го разбереме основниот концепт на корелација на производниот момент. Општата формула што се користи за пресметување на коефициентот на корелација на Пирсон (\(r\)) е:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Димана:
– \(n \) е бројот на парови на податоци.
– \( \sum{XY} \) е збирот од производите на \(X \) и \(Y \).
– \( \sum{X} \) е збирот од променливите \(X \).
– \( \sum{Y} \) е збирот од променливите \(Y \).
– \( \sum{X^2} \) е збирот од квадратите на променливата \(X \).
– \( \sum{Y^2} \) е збирот од квадратите на променливата \(Y \).
Пирсоновиот коефициент на корелација (\(r\)) е секогаш помеѓу -1 и 1. Позитивната корелација покажува дека обете променливи се движат во иста насока, додека негативната корелација покажува дека како што едната променлива се зголемува, другата се намалува. Ако \(r = 0\), тогаш не постои линеарна корелација помеѓу двете променливи.
Пример за прашање 1
податоци
Следните се податоци за резултатите од испитите по математика и физика за 5 ученици:
| Студент | Математика (X) | Физика (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Чекори за решавање
1. Пресметување на важни компоненти:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Внесете во формулата:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Пресметување на резултатите:
– Броител: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Именител:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( 766 пати 1276} приближно \sqrt{976856} приближно 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \приближно 0.633 \]
Според тоа, Пирсоновиот коефициент на корелација помеѓу резултатите од тестовите по математика и физика е 0.633, што укажува дека постои умерена позитивна корелација помеѓу двете варијабли.
Пример за прашање 2
податоци
Следните податоци за вредноста на продажбата и трошоците за рекламирање од 6 месеци во компанијата:
| Месец | Рекламирање (X) | Продажба (Y) |
|——-|————–|———————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Чекори за решавање
1. Пресметување на важни компоненти:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Внесете во формулата:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Пресметување на резултатите:
– Броител: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Именител:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( 2040000 пати 4580000} приближно \sqrt{9343200000000} приближно 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \приближно 0.981 \]
Според тоа, Пирсоновиот коефициент на корелација помеѓу трошоците за рекламирање и вредноста на продажбата е 0.981, што укажува дека постои многу силна позитивна корелација помеѓу двете варијабли.
Заклучок
Пирсоновиот коефициент на корелација (\(r\)) е многу корисна алатка за разбирање на линеарната врска помеѓу две променливи. Во дадените примери, гледаме како да ја пресметаме вредноста \(r\) и да ја толкуваме. Повисока корелација (поблиску до 1 или -1) укажува на посилна врска, додека помала корелација (поблиску до 0) укажува на послаба врска. Важно е да се напомене дека корелацијата не подразбира причинско-последична врска; таа едноставно укажува дека постои врска помеѓу двете променливи.
