Пример прашања што ја дискутираат функцијата на биномна распределба
Биномната распределба е дискретна распределба на веројатноста што го опишува бројот на успеси во експеримент што се состои од голем број независни обиди со два можни исходи: успех и неуспех. Секое обид се нарекува обид, а биномната распределба често се користи во ситуации каде што е од интерес бројот на успеси низ голем број независни обиди. Во оваа статија, ќе ги разгледаме основните концепти на биномната распределба и ќе дадеме примери и решенија.
Основни концепти на функцијата на биномна распределба
Пред да се впуштиме во пример прашањата и дискусијата, да разговараме за некои основни концепти поврзани со биномната распределба.
1. Дефиниција: Биномната распределба е дефинирана како збир од успеси во „n“ независни обиди, каде што секое обиди има два можни исхода: успех (со веројатност p) или неуспех (со веројатност q = 1 – p).
2. Функција на веројатност: Функцијата на веројатност на биномната распределба е:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
ди мана:
– \( P(X = k) \) е веројатноста за k успеси во n обиди.
– \( \binom{n}{k} \) е комбинација од n што зема k, што е дефинирано како \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) е веројатноста за успех на секој обид.
– \((1-p) \) е веројатноста за неуспех на секој обид.
3. Очекувана вредност и отстапување:
– Очекуваната вредност (средна вредност) на биномната распределба е \( \mu = np \).
– Варијансата на биномната распределба е \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Сега, ајде да ги примениме овие концепти во еден пример за проблем за да обезбедиме подлабоко разбирање.
Пример за прашање 1: Основни пресметки на биномна распределба
Прашање:
Компанија произведува електронски компоненти со веројатност од 0.95 дека секоја компонента ќе помине тест за квалитет. Ако се произведени 10 компоненти, пресметајте ја веројатноста дека точно 8 компоненти ќе го поминат тестот за квалитет.
Дискусија:
Можеме да ја користиме формулата за биномна распределба за да го решиме овој проблем. Прво, ги идентификуваме следните параметри:
– \(n \) (вкупен број на обиди) = 10
– \( k \) (број на успеси) = 8
– \( p \) (веројатност за успех) = 0.95
– \(q \) (веројатност за дефект) = 1 – 0.95 = 0.05
Потоа заменете ги овие вредности во формулата за биномна распределба:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Прво, пресметајте ја комбинацијата \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 пати 9 пати 8!}{8! пати 2!} = \frac{10 пати 9}{2 пати 1} = 45
\]
Потоа, пресметајте ги веројатностите \((0.95)^8 \) и \((0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \приближно 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Конечно, помножете ги сите тие вредности за да добиете:
\[
P(X = 8) = 45 x 0.6634 x 0.0025 x приближно 0.0744
\]
Значи, веројатноста дека точно 8 од 10 компоненти ќе го поминат тестот за квалитет е околу 0.0744 или 7.44%.
Пример за прашање 2: Кумулативна веројатност
Прашање:
Сепак со истата компанија, пресметајте ја веројатноста дека најмалку 9 од 10 компоненти ќе го поминат тестот за квалитет.
Дискусија:
За да го решиме овој проблем, треба да ја пресметаме кумулативната веројатност. Веројатноста дека најмалку 9 од 10 компоненти ќе го поминат тестот значи дека пресметуваме \(P(X \geq9) \), што може да се запише како:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Користејќи ја формулата за биномна распределба:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Прво, пресметајте ја комбинацијата за секој случај:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Потоа, пресметајте ги веројатностите за \(P(X = 9) \) и \(P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 x (0.95)^9 x 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \приближно 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 x 0.6302 x 0.05 x приближно 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 x (0.95)^{10} x 1
\]
\[
(0.95)^{10} \приближно 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Вкупна веројатност за \(P(X \geq9) \):
\[
P(X ≤9) = 0.3151 + 0.5987 ≤ приближно 0.9138
\]
Значи, веројатноста дека барем 9 од 10 компоненти ќе го поминат тестот за квалитет е околу 0.9138 или 91.38%.
Пример за прашање 3: Очекувана вредност и варијација
Прашање:
Пресметајте ја очекуваната вредност и варијансата на бројот на компоненти што го поминале тестот за квалитет од 10 произведени компоненти, со веројатност за поминување од 0.95.
Дискусија:
Користете ја следнава формула:
– Очекувана вредност (средна вредност) \( \mu = np \)
– Варијанса \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Со (n = 10) и (p = 0.95):
\[
\mu = 10 \times 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
Значи, очекуваната вредност на бројот на компоненти што го поминуваат тестот за квалитет е 9.5, а варијансата е 0.475.
Заклучок
Преку трите примери на проблеми погоре, дискутиравме како да се пресмета веројатноста со користење на биномната распределба за различни ситуации: пресметување на точна веројатност, кумулативна веројатност и пресметување на очекувана вредност и варијанса. Познавањето на биномната распределба е корисно во различни области, како што се производството, медицинските истражувања и социјалната статистика, каде што резултатите од повторените експерименти со два можни исхода можат да се анализираат за да се помогне во донесувањето одлуки. Се надеваме дека дадените примери на проблеми и дискусии ќе ви помогнат дополнително да ја разберете биномната распределба.
