Примерни прашања и дискусија за биномна распределба
Биномната распределба е една од најчесто користените дискретни распределби на веројатност. Таа е корисна за моделирање на бројот на успеси низ голем број идентични, независни обиди, од кои секое произведува или успех или неуспех. Во оваа статија, ќе навлеземе подлабоко во биномната распределба со давање неколку примери и детална дискусија.
Вовед во биномна распределба
Главни карактеристики на биномната распределба:
1. n : Број на обиди или повторувања.
2. p: Веројатност за успех во секое испитување.
3. q = 1-p: Веројатност за неуспех во секое испитување.
Функцијата на веројатноста на масата на биномната распределба е:
\[ P(X = k) = {n \избери k} p^k (1-p)^{nk} \]
ди мана:
– \( {n \избери k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Случајна променлива што го претставува бројот на успеси.
– \( k \): Бројот на барани успеси.
Пример прашања и дискусија
Да почнеме со неколку примери на проблеми за подетално да го разбереме концептот на биномна распределба.
Пример 1: Избирање од група студенти
На пример, да претпоставиме дека имаме група од 10 студенти, а веројатноста секој студент да биде избран да учествува во натпревар е 0,3. Сакаме да ја знаеме веројатноста дека ќе бидат избрани точно 4 студенти.
Чекор 1: Идентификувајте ги параметрите на биномната распределба.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
Чекор 2: Користете ја биномната распределба за да ја пресметате веројатноста на \(X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \избери 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Пресметување на \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \избери 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Сега пресметајте \((0.3)^4 \) и \((0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Значи,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
Значи, веројатноста дека ќе бидат избрани точно 4 студенти е приближно 0.20012 или 20.012%.
Пример 2: Веројатност помала или еднаква на 2
Сега, на пример, нè прашуваат за веројатноста дека ќе бидат избрани помалку или еднакво на 2 студенти.
Чекор 1: Треба да ги пресметаме P(X = 0)), P(X = 1) и P(X = 2)
– За \(P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \избери 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \избери 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– За \(P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \избери 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \избери 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– За \(P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \избери 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \избери 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Чекор 2: Соберете ги веројатностите.
\[ P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Значи, веројатноста дека ќе бидат избрани помалку или еднакво на 2 студенти е приближно 0.7740671 или 77.41%.
Пример 3: Веројатност од најмалку 8
Ако еден експеримент се изврши 12 пати, а веројатноста за успех во секој обид е 0.5, која е веројатноста да се случат најмалку 8 успеси?
Чекор 1: Поставете ги биномните параметри: \( n = 12, p = 0.5 \).
Чекор 2: Пронајдете ја веројатноста за \(X \geq 8 \).
Ова бара пресметување на неколку индивидуални веројатности и нивно собирање:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Избројте еден по еден:
– За \(P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \избери 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \избери 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– За \(P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \избери 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \избери 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– За \(P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \избери 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \избери 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– За \(P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \избери 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \избери 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– За \(P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \избери 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \избери 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Чекор 3: Соберете ги сите веројатности.
\[ P(X ≤ geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 ≤ приближно 0.1938477 \]
Значи, веројатноста дека ќе се случат најмалку 8 успеси во 12 обиди е приближно 0.1938477 или 19.38%.
Заклучок
Биномната распределба е фундаментален концепт во статистиката кој е клучен во многу практични апликации. Со разбирање како да се пресметуваат веројатностите за различни случаи на биномната распределба, како што е прикажано во горенаведените примери, можеме да го примениме овој концепт во ситуации од реалниот свет. Оваа вежба, исто така, го зајакнува нашето разбирање за тоа како структурите на веројатноста функционираат во јасен и организиран контекст.
