Asa amin'ny isa sarotra
Ny isa sarotra dia foto-kevitra matematika izay mampifangaro ny isa tena izy sy ny isa foronina. Fototra amin'ny sampana siansa maro izy ireo, anisan'izany ny fizika, ny injeniera ary ny matematika mihitsy. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hojerentsika ireo asa isan-karazany azo atao amin'ny isa sarotra, anisan'izany ny fanampiana, fanalana, fampitomboana, fizarana, sy ny maro hafa.
Fahatakarana ny isa sarotra
Azo soratana amin'ny endrika \(a+bi\) ny isa sarotra rehetra, izay isa tena izy ny \(a\) sy \(b\) ary singa foronina izay mahafeno ny \(i^2 = -1\ ny \(i\). Ny teny hoe \(a\) dia antsoina hoe ampahany tena izy, raha toa kosa ka ny \(b\) no ampahany foronina amin'ny isa sarotra. Ohatra, ny \(3 + 4i\) dia isa sarotra misy ampahany tena izy 3 sy ampahany foronina 4.
Amin'ny maha-fampitoviana fototra azy, dia manana isika:
\[ i^2 = -1 \]
Midika izany fa ny \(i\) dia faka efamira amin'ny -1.
Fanampiana sy Fanalana
Ny fanampiana sy fanalana isa sarotra dia atao amin'ny fanampiana sy fanalana ny ampahany tena izy sy ny ampahany foronina tsirairay avy. Aoka hatao hoe manana isa sarotra roa isika \( z_1 = a + bi \) sy \( z_2 = c + di \), dia:
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i \]
ohatra:
Aoka ho \( z_1 = 3 + 4i \) sy \( z_2 = 1 + 2i \), dia:
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \]
fampitomboana
Ny fampitomboana isa sarotra dia mampiasa distributives toy ny amin'ny algebra saingy raisina an-tsaina ny \( i^2 = -1 \). Aoka hatao hoe \( z_1 = a + bi \) ary \( z_2 = c + di \), dia:
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd(-1) \]
\[ = ac + adi + bci – bd \]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
ohatra:
Aoka ho \( z_1 = 3 + 4i \) sy \( z_2 = 1 + 2i \), dia:
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 + 2i) \]
\[ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 1 + 4i \cdot 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]
Pembagian
Ny fizarana isa sarotra dia atao amin'ny fampitomboana ny mpanisa sy ny mpamaritra amin'ny konjugatan'ny mpamaritra. Ny konjugatan'ny isa sarotra \( z = a + bi \) dia \( \overline{z} = a – bi \).
Aoka hatao hoe \( z_1 = a + bi \) ary \( z_2 = c + di \), dia:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
Ampitomboina amin'ny konjugat-n'ny denominator:
\[ = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
ohatra:
Aoka ho \( z_1 = 3 + 4i \) sy \( z_2 = 1 + 2i \), dia:
Konjugata \( z_2 = 1 – 2i \).
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1 – 2i)}{(1 + 2i)(1 – 2i)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
Fantatra fa \( i^2 = -1 \):
\[ = \frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]
Modulus sy Arguments
Ny modulus-n'ny isa sarotra dia ny elanelana manomboka amin'ny fiandohana ao amin'ny planina sarotra ka hatramin'ny teboka asehon'ny isa sarotra. Ny modulus-n'ny isa sarotra \( z = a + bi \) dia aseho amin'ny \( |z| \) ary kajy amin'ny:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
ohatra:
Raha \( z = 3 + 4i \), dia:
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Ny tohan-kevitra momba ny isa sarotra dia ny zoro iforonan'ny isa sarotra amin'ny axe tena izy ao amin'ny fiaramanidina sarotra ary mazàna aseho amin'ny radian na degre.
Endrika Polarisa
Azo aseho amin'ny endrika polar ihany koa ny isa sarotra. Matetika ity endrika ity dia manatsotra ny kajy izay misy ny hery sy ny fakany amin'ny isa sarotra. Azo aseho toy izao ny isa sarotra:
\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]
izay \( r \) no modulus ary \( \theta \) no tohan-kevitry ny isa sarotra.
Mpiasa sarotra hafa: Exponential sy Logarithmic
Azo atao amin'ny alalan'ny raikipohy Euler ny fanovana ny isa sarotra ho amin'ny endrika eksponensialy:
\[ z = re^{i\theta} \]
izay \( e \) no fototry ny logaritma voajanahary, ary \( \theta \) no tohan-kevitry ny \( z \).
Tena ilaina amin'ny asa maro ny fanaparitahana ny isa sarotra, indrindra amin'ny fanadihadiana Fourier sy ny fiovan'i Laplace.
Famaranana
Fitaovana fototra tena ilaina amin'ny famahana olana isan-karazany amin'ny matematika sy siansa ny isa sarotra. Ny fahaizana mifehy ny asa fototra toy ny fanampiana, fanalana, fampitomboana ary fizarana dia dingana voalohany tena ilaina. Ankoatra izany, ny fahatakarana ny foto-kevitry ny modulus, ny argument ary ny fiovam-po amin'ny endrika polar sy exponential dia mampitombo ny fahafahantsika mikaroka ny fampiharana ny isa sarotra amin'ny sehatra isan-karazany.
Amin'ny alalan'ny fahatakarana sy fampiharana ny isa sarotra, dia afaka mamaha olana izay mety ho sarotra na tsy azo vahana mihitsy aza isika amin'ny fampiasana isa tena izy irery. Amin'ny maha-fitaovana famakafakana mahery vaika azy, ny isa sarotra dia mbola ampahany manan-danja amin'ny matematika sy ny fampiharana ara-tsiansa hatramin'izao.
