Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny vektorin'ny tsanganana sy ny vektorin'ny andalana
Ao amin'ny matematika, indrindra fa ny aljebra lineary, ny vektôra dia foto-kevitra fototra ampiasaina matetika amin'ny fampiharana isan-karazany, manomboka amin'ny modely fizika ka hatramin'ny kajy. Ny vektôra tsanganana sy ny vektôra andalana dia endrika roa amin'ny fanehoana vektôra, samy manana ny toetrany sy ny fampiasana azy avy. Ity lahatsoratra ity dia hiresaka momba ny olana ohatra sy ny vahaolana amin'izany izay misy ny vektôra tsanganana sy ny vektôra andalana.
Famaritana ny Vektera Tsanganana sy ny Vektera Andalana
Alohan'ny hidirantsika amin'ireo ohatra fanontaniana sy ny fifanakalozan-kevitra momba azy ireo, andeha hojerentsika aloha ny famaritana fototra ny vektôran'ny tsanganana sy ny vektôran'ny andalana.
– Ny vecteur tsanganana dia vecteur milahatra ao anaty tsanganana iray, izany hoe, refy mitsangana iray. Ohatra:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]
– Ny vektôra andalana dia vektôra milahatra anaty andalana, izany hoe, amin'ny refy mitsivalana iray. Ohatra:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
Ohatra 1: Fanampiana Vektera Tsanganana
Fanontaniana:
Raha omena ireto vecteur tsanganana roa manaraka ireto:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Kajy ny fitambaran'ny vektôra tsanganana roa.
Vahaolana:
Ny fanampiana vektôra tsanganana roa dia atao amin'ny fanampiana ireo singa mifanaraka aminy.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4
2 + 1
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Koa, ny fitambaran'ny \(\mathbf{u}\) sy \(\mathbf{v}\) dia \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Ohatra Fanontaniana 2: Fanampiana Vektera andalana
Fanontaniana:
Raha omena ireto vecteur andalana roa manaraka ireto:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Kajy ny fitambaran'ny vektôra andalana roa.
Vahaolana:
Ny fanampiana vektôra andalana roa dia atao amin'ny fanampiana ireo singa mifanaraka amin'izany.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Koa, ny fitambaran'ny \(\mathbf{a}\) sy \(\mathbf{b}\) dia \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\).
Ohatra 3: Fampitomboana Skalar amin'ny Vektera Tsanganana
Fanontaniana:
Raha omena vecteur tsanganana \(\mathbf{c}\) sy scalar \(k\):
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Kajy ny vokatry ny fampitomboana skalar.
Vahaolana:
Ny fampitomboana skalar amin'ny vektôra tsanganana dia atao amin'ny fampitomboana ny singa tsirairay ao amin'ny vektôra amin'ny skalar.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \in -3 \\
In-2 4
2 x 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Koa, ny vokatry ny fampitomboana ny scalar \(2\) amin'ny vecteur tsanganana \(\mathbf{c}\) dia \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
Ohatra Fanontaniana 4: Fampitomboana Skalar amin'ny Vektera Laharana
Fanontaniana:
Raha omena vecteur andalana \(\mathbf{d}\) sy scalar \(m\):
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Kajy ny vokatry ny fampitomboana skalar.
Vahaolana:
Ny fampitomboana skalar amin'ny vektôra andalana dia atao amin'ny fampitomboana ny singa tsirairay ao amin'ny vektôra amin'ny skalar.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Koa, ny vokatry ny fampitomboana ny scalar \(-3\) amin'ny vecteur row \(\mathbf{d}\) dia \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\).
Ohatra 5: Fampitomboana ny Matrisa \(1 x 3\) amin'ny \(3 x 1\) (Vektora andalana amin'ny Vektora tsanganana)
Fanontaniana:
Omena véctor andalana \(\mathbf{e}\) sy vector tsanganana \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Kajy ny vokatra azo avy amin'ireo vektôra roa.
Vahaolana:
Mba hanaovana fampitomboana matrisa, ny vektôran'ny andalana \(\mathbf{e}\) dia raisina ho matrisa \(1 \times 3\), ary ny vektôran'ny tsanganana \(\mathbf{f}\) dia raisina ho matrisa \(3 \times 1\). Ny vokatr'io fampitomboana io dia scalar, izany hoe ny fitambaran'ny vokatra avy amin'ireo singa mifandraika amin'izany:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
pmatrix = (2 x 5) + (-1 x 3) + (4 x -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Koa, ny vokatry ny fampitomboana ny vektôran'ny andalana \(\mathbf{e}\) amin'ny vektôran'ny tsanganana \(\mathbf{f}\) dia \(-1\).
Ohatra 6: Fampitomboana ny Matrisa \(3 x 1\) amin'ny \(1 x 3\) (Vektora Tsanganana amin'ny Vektora Laharana)
Fanontaniana:
Raha omena vecteur tsanganana \(\mathbf{g}\) sy vecteur andalana \(\mathbf{h}\):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 sy 5 sy 6 \end{pmatrix}
\]
Kajy ny vokatra azo avy amin'ireo vektôra roa.
Vahaolana:
Ny fampitomboana matrisa amin'ny vektôra tsanganana amin'ny vektôra andalana dia miteraka matrisa (\(3 \times 1\)) ampitomboina amin'ny (\(1 \times 3\)) izay miteraka matrisa \(3 \times 3\). Ny singa vaovao tsirairay dia vokatry ny singa mifanaraka aminy:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 x 4 & 1 x 5 & 1 x 6
2 x 4 & 2 x 5 & 2 x 6
3 x 4 & 3 x 5 & 3 x 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Koa, ny vokatry ny fampitomboana ny vecteur tsanganana \(\mathbf{g}\) amin'ny vecteur andalana \(\mathbf{h}\) dia ny matrice:
\[
\begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Famaranana
Nandritra ity lahatsoratra ity dia nahita ohatra maromaro mahakasika ny vecteur tsanganana sy andalana isika. Ny fanampiana ny vecteur tsanganana sy andalana dia tanterahina amin'ny fanampiana ireo singa mifanaraka aminy. Ny fampitomboana scalar amin'ny vecteur dia tanterahina ihany koa amin'ny fampitomboana ny singa tsirairay amin'ny vecteur amin'ny scalar. Farany, nianatra ny fomba fampitomboana ny vecteur andalana sy andalana isika, ka miteraka scalar na matrice, arakaraka ny filaharany. Ny fahaizana mifehy ireo asa fototra ireo dia tena ilaina amin'ny fampiharana sarotra kokoa amin'ny algebra linear sy ny famakafakana angona.
