Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny teboka farany: ny sandan'ny fiverenana farany ambany indrindra sy ny sandan'ny fiverenana farany ambony indrindra
Ny famaritana ireo teboka farany, ireo teboka izay mahatratra ny sandany farany ambany na farany ambony indrindra, dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy sy ny famakafakana matematika. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hojerentsika ny fomba hahitana sy handinihana ireo teboka farany ambony amin'ny alalan'ny ohatra maromaro momba ny olana mahakasika ny sanda farany ambany sy farany ambony indrindra.
Famaritana sy Teôrema momba ny lohahevitra
Alohan'ny hiresahana ireo ohatra amin'ny olana dia mila mahatakatra foto-kevitra sy teôria fototra isika:
1. Teboka mitsikera: Ny sandan'ny \( x \) izay ny derivative voalohany \( f'(x) \) an'ny asa \( f(x) \) dia aotra na tsy misy.
2. Sanda Famerenana Ambony Indrindra: Dia ny sandan'ny \( f(x) \) izay lehibe noho ny sandan'ny \( f(x) \) manodidina io teboka io.
3. Sanda Famerenana Farafahakeliny: Ny sandan'ny \( f(x) \) izay kely kokoa noho ny sandan'ny \( f(x) \) manodidina io teboka io.
4. Teôrema Fermat: Raha manana sanda tafahoatra eo an-toerana ao amin'ny \( c \) ny \( f \) ary misy ny derivative \( f'(c) \), dia \( f'(c) = 0 \).
Ohatra Fanontaniana 1: Asa Ekadratika
Voalohany, manomboka amin'ny asa quadratic tsotra isika:
\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]
Dingana:
1. Tadiavo ny derivative voalohany amin'ny \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]
2. Tadiavo ireo teboka manan-danja amin'ny famahana \( f'(x) = 0 \):
\[
4x – 4 = 0 \ midika hoe x = 1
\]
3. Farito ny sandan'ny asa eo amin'ny teboka mitsikera:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]
4. Ampiasao ny derivative faharoa mba hamaritana ny toetran'ny teboka:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
Koa satria \( f”(1) > 0 \), ny teboka \( x = 1 \) dia teboka farany ambany eo an-toerana.
Ohatra Fanontaniana 2: Asa Polinomial
Andeha isika izao hanandrana amin'ny asa polinômialy sarotra kokoa:
g(x) = x^3 – 3x^2 + 2
Dingana:
1. Fantaro ny derivative voalohany \( g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]
2. Tadiavo ireo teboka manan-danja amin'ny famahana ny \( g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \implies 3x(x – 2) = 0 \implies x = 0 \text{ na } x = 2
\]
3. Farito ny sandan'ny asa eo amin'ny teboka mitsikera:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]
4. Ampiasao ny derivative faharoa mba hamaritana ny toetran'ny teboka:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{sanda ambony indrindra eo an-toerana})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{sanda farany ambany indrindra eo an-toerana})
\]
Noho izany, ny \( g(x) \) dia manana ny ambony indrindra eo an-toerana amin'ny \( x = 0 \) ary ny ambany indrindra eo an-toerana amin'ny \( x = 2 \).
Ohatra Fanontaniana 3: Asa Transcendental
Andeha hojerentsika ny asa iray izay misy ny exponentiation:
\[ h(x) = xe^{-x} \]
Dingana:
1. Fantaro ny derivative voalohany \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]
2. Tadiavo ny teboka mitsikera amin'ny famahana ny \( h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \implies 1 – x = 0 \implies x = 1
\]
3. Farito ny sandan'ny asa eo amin'ny teboka mitsikera:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
4. Ampiasao ny derivative faharoa mba hamaritana ny toetran'ny teboka:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Koa satria \( h”(1) < 0 \), ny teboka \( x = 1 \) dia fara-tampony eo an-toerana. Ohatra Olana 4: Asa Rational Farany, manombana ny asa rational isika: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \] Dingana: 1. Tadiavo ny derivative voalohany amin'ny fampiasana ny fitsipika quotient: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. Tadiavo ireo teboka mitsikera amin'ny famahana \( k'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \] 3. Fantaro ny sandan'ny asa eo amin'ny teboka mitsikera: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. Ampiasao ny derivative faharoa mba hijerena ny toetran'ny teboka: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] Azo atao ny kajy fanampiny amin'ny alàlan'ny fanavahana \( k'(x) \) Ny valiny dia hampiseho raha teboka ambony indrindra na ambany indrindra eo an-toerana ny \( x = \sqrt{2} \) sy \( x = -\sqrt{2} \). Fehiny Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia niresaka olana ohatra maromaro izay mampiseho ny fomba hahitana ny extrema, izany hoe ny sanda mivadika farany ambany sy farany ambony indrindra, amin'ny karazana asa isan-karazany. Ny teknika ampiasaina dia ahitana ny fitadiavana ny derivative voalohany mba hahitana teboka mitsikera, ny fampiasana ny derivative faharoa mba hamaritana ny toetran'ny teboka, ary ny fanombanana ny asa amin'ireo teboka ireo. Fototra matanjaka ho an'ny fidirana lalindalina kokoa amin'ny fanadihadiana momba ny asa amin'ny kajy izany.
