Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny sandan'ny fizarana ara-dalàna antenaina
Ny fizarana ara-dalàna, fantatra ihany koa amin'ny hoe fizarana Gaussian, dia iray amin'ireo fizarana mety mitohy ampiasaina matetika indrindra amin'ny statistika sy ny mety hitranga. Matetika ity fizarana ity dia ampiasaina ho toy ny fiheverana fototra amin'ny fanatsoahan-kevitra ara-statistika isan-karazany noho ny toetrany matematika tsara, toy ny simetria sy ny maha-tokana azy amin'ny fametrahana parameter miaraka amin'ny salan'isa (µ) sy ny fivilian-dàlana mahazatra (σ). Ity lahatsoratra ity dia hiresaka momba ny ohatra sy ny sandan'ny fizarana ara-dalàna andrasana mba hanomezana fahatakarana lalindalina kokoa momba ity foto-kevitra ity.
Fahatakarana ny Fizarana Ara-dalàna
Ny fizarana ara-dalàna dia aseho amin'ny alalan'ny fiolahana lakolosy simetrika, miaraka amin'ny ankamaroan'ny sanda mifantoka manodidina ny sanda afovoany, na salan'isa. Ao anatin'ity fizarana ity, ny salan'isa (µ) sy ny fivilian-dàlana mahazatra (σ) dia masontsivana roa manan-danja izay mamaritra ny toerana sy ny habetsaky ny fiparitahana ao amin'ny angona.
Ny fiasan'ny hakitroky ny mety ho azo (PDF) amin'ny fizarana ara-dalàna dia:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Aiza:
– \( \mu \) dia ny salan'isa na ny salan'isa
– \( \sigma \) no fivilian-dàlana mahazatra
– Fiovaovana kisendrasendra ny \( x \)
Sanda antenaina amin'ny fizarana ara-dalàna
Ny sandan'ny andrasana amin'ny fiovaovana kisendrasendra misy fizarana ara-dalàna dia mitovy amin'ny salan'isan'ny fizarana. Raha \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), dia ny sandan'ny andrasana \( E(X) \) dia:
\[ E(X) = \mu \]
Andeha isika hanohy amin'ny ohatra vitsivitsy amin'ny olana momba ny sanda andrasana amin'ny fizarana ara-dalàna mba hanamafisana ny fahatakarantsika.
Fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra santionany
Ohatra amin'ny Fanontaniana 1:
Aoka hatao hoe miovaova araka ny tokony ho izy ny \( X \) miaraka amin'ny \( \mu = 50 \) sy \( \sigma = 10 \). Kajio ny sandan'ny \( X \).
Dinika:
Araka ny voalaza teo aloha, amin'ny fizarana ara-dalàna, ny sanda andrasana \( E(X) \) dia mitovy amin'ny \( \mu \). Noho izany,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
Ohatra amin'ny Fanontaniana 2:
Raha omena fiovaovana kisendrasendra \( Y \) dia mizara ara-dalàna amin'ny \( \mu = 120 \) sy \( \sigma = 15 \). Tadiavo ny sandan'ny \( Y \).
Dinika:
Mitovy amin'ny ohatra voalohany, ny sanda antenaina amin'ny \( Y \) dia ny sanda afovoany na ny salan'isa amin'ny fizarana ara-dalàna, izany hoe:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
Ohatra amin'ny Fanontaniana 3:
Raha manaraka fizarana ara-dalàna miaraka amin'ny \( \mu = 0 \) sy \( \sigma = 1 \) (fizarana ara-dalàna mahazatra) ny fiovaovan-javatra kisendrasendra \( Z \), inona ny sandan'ny \( Z \) antenaina?
Dinika:
Ny fizarana ara-dalàna mahazatra dia manana salan'isa \( \mu = 0 \), ka ny sanda antenaina \( E(Z) \) dia:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
Ohatra amin'ny Fanontaniana 4:
Aoka hatao hoe miovaova araka ny tokony ho izy ny \( W \) miaraka amin'ny salan'isa \( \mu = 75 \) ary fivilian-dàlana mahazatra \( \sigma = 20 \). Raha mamaritra miovaova vaovao \( V = 2W + 3 \ isika, inona ny sandan'ny \( V \)?
Dinika:
Mba hahitana ny sanda andrasana amin'ny \( V \), dia mila mampiasa ny toetra linearité amin'ny sanda andrasana isika. Raha omena \( V = 2W + 3 \), dia:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Mifototra amin'ny toetran'ny linearity amin'ny sanda andrasana, azontsika sarahina ny tsy miovaova amin'ny variable kisendrasendra:
E(V) = 2E(W) + E(3)
Ny fahafantarana fa ny sandan'ny tsy miovaova andrasana amin'ny tsy miovaova dia ny tsy miovaova mihitsy:
\[ E(3) = 3 \]
Ary ny sandan'ny \( W \) andrasana dia ny salan'isa amin'ny fizarana ara-dalàna \( W \):
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Koa,
E(V) = 2 x 75 + 3
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Ohatra amin'ny Fanontaniana 5:
Ny fiovaovan'ny kisendrasendra \( Q \) dia manaraka fizarana ara-dalàna miaraka amin'ny salan'isa \( \mu = 40 \) ary ny fivilian-dàlana mahazatra \( \sigma = 5 \). Inona ny sandan'ny \( Q \) antenaina raha \[ U = Q/2 \]?
Dinika:
Mampiasa ny fitsipika mitovy amin'ny ohatra faha-4 isika, dia ny toetran'ny linearité amin'ny sanda andrasana. Raha jerena fa \( U = Q/2 \), dia:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Mifototra amin'ny toetran'ny linearity amin'ny sanda andrasana:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Fantatsika fa ny sandan'ny \( Q \) andrasana dia ny salan'isa amin'ny fizarana ara-dalàna \( Q \):
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Koa,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \x40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Famaranana
Ao anatin'ny fizarana ara-dalàna, ny sandan'ny fiovaovana kisendrasendra dia mitovy foana amin'ny salan'isa (µ) amin'ny fizarana. Ireo ohatra olana etsy ambony ireo dia mampiseho fepetra isan-karazany amin'ny fikajiana ny sanda andrasana amin'ny fampiasana ny toetra linearity. Ny fahatakarana ity foto-kevitra fototra ity dia manamora ny famahana ny olana amin'ny fizarana ara-dalàna amin'ny statistika sy ny mety ho azo.
Zava-dehibe amin'ny statistika ny fizarana ara-dalàna satria ampiasaina amin'ny fampiharana azo ampiharina isan-karazany, anisan'izany ny fitsapana petra-kevitra, ny fanombanana ny masontsivana, ary ny tsoa-kevitra ara-statistika isan-karazany hafa. Ny fahatakarana tsara ny sanda antenaina amin'ity fizarana ity dia dingana voalohany manan-danja amin'ny famakafakana angon-drakitra.
Antenaina fa ity lahatsoratra ity dia manome fanazavana mazava sy mahasoa momba ny sanda andrasana amin'ny fizarana ara-dalàna miaraka amin'ny ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra mifandraika amin'izany.
