Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny faribolana sy ny tangent
Ny faribolana sy ny tangent dia lohahevitra roa matetika resahina amin'ny matematika, indrindra fa amin'ny ambaratonga faharoa. Ny fahatakarana ny foto-kevitra sy ny fampiharana ny tangent amin'ny faribolana dia tena ilaina mba hampitomboana ny fahalalanao momba ny jeometrika. Ity lahatsoratra ity dia hanome ohatra amin'ny olana sy fifanakalozan-kevitra momba ny faribolana sy ny tangent mba hanomezana fahatakarana lalindalina kokoa ny mpamaky.
Fampidirana ny Teorian'ny Faribolana sy ny Tangents
Lingkaran
Ny faribolana dia fitambaran'ny teboka ao anaty fiaramanidina izay mitovy elanelana amin'ny teboka raikitra antsoina hoe ivon'ny faribolana. Io elanelana raikitra io dia fantatra amin'ny hoe radius-n'ny faribolana. Amin'ny matematika, ny faribolana dia azo faritana amin'ny alalan'ny fampitoviana:
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
izay \((a, b)\) no koordinate-n'ny ivon'ny faribolana ary \(r\) ny radius.
Tangent
Ny tangent amin'ny faribolana dia tsipika izay mikasika ny faribolana amin'ny teboka iray monja. Io teboka io dia antsoina hoe teboka tangency. Ny toetra mampiavaka ny tangent dia ny maha-persipika azy amin'ny radius voasintona avy eo afovoan'ny faribolana mankany amin'ny teboka tangency.
Fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra santionany
Fanontaniana 1: Famaritana ny fitoviana amin'ny tsipika tangent
Fanontaniana:
Omena faribolana iray izay ivony eo amin'ny \( (2, 3) \) ary radius 5. Farito ny fitoviana misy ny tsipika tangent amin'ny faribolana eo amin'ny teboka \( P \) miaraka amin'ny koordinate \( (5, 7) \).
Dinika:
Dingana 1: Ataovy azo antoka fa eo amin'ilay faribolana marina tokoa ny teboka \(P \).
Mba hijerena raha eo amin'ny faribolana misy ny afovoany (2, 3) sy ny radius (5) ny \( P (5, 7) \) dia soloo ao amin'ny fampitoviana ny koordinate an'ny \( P \):
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
(5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25
3^2 + 4^2 = 25
\[ 9 + 16 = 25 \]
Koa satria marina ny fitoviana, dia eo amin'ny faribolana tokoa no misy ny teboka \(P \).
Dingana 2: Fantaro ny fiovaovan'ny radius mandalo amin'ny \( (2, 3) \) sy \( (5, 7) \):
\[ m_{radius} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Dingana 3: Ny gradient-n'ny tsipika tangent mifanitsy amin'ny gradient-n'ny radius (ny gradient-n'ny vokatra dia -1):
\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Dingana 4: Farito ny fitoviana amin'ny tsipika tangent amin'ny fampiasana ny teboka \( P (5, 7) \):
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Tsotra:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Noho izany, ny fitoviana amin'ny tsipika tangent dia:
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Fanontaniana 2: Famaritana ny teboka fandrefesana avy amin'ny fitoviana tsipika
Fanontaniana:
Omena faribolana misy ny fitoviana \( x^2 + y^2 = 25 \) sy tsipika \( y = \frac{3}{4}x + 2 \). Fantaro ny teboka mampitohy ny tsipika sy ny faribolana.
Dinika:
Dingana 1: Soloy ao amin'ny ekioan'ny faribolana ny ekioan'ny tsipika:
Fitoviana amin'ny faribolana:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
Soloy ao amin'ny fitoviana boribory ny \( y = \frac{3}{4}x + 2 \):
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
Dingana 2: Tsory ny fampitoviana:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Dingana 3: Fahitana ny fakany amin'ny fampiasana ny raikipohy quadratic:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Misafidy \( x \) manan-kery mifototra amin'ny teboka tangency (iray ihany \( x \) no hamokatra teboka tangency):
\[ x = \frac{141.501}{50} \eo amin'ny 2.83 \]
\[ x \ eo amin'ny 2.83 eo ho eo \]
Dingana 4: Soloy ny \( x \) ao amin'ny fitoviana amin'ny tsipika mba hahazoana ny \( y \):
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \ eo ho eo 2.12 + 2 \]
\[ y \ eo amin'ny 4.12 eo ho eo \]
Koa, ny teboka fifandanjana eo amin'ny tsipika \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) sy ny faribolana \( x^2 + y^2 = 25 \) dia \( (2.83, 4.12) \).
Famaranana
Ny fahaizana mifehy ny foto-kevitry ny faribolana sy ny tangent dia mitaky ny fahatakarana ny fototry ny jeometrika sy ny fahaizana mamaha olana amin'ny fampiasana fampitoviana matematika. Ny olana toy ireo etsy ambony ireo dia manampy ny mpianatra hampihatra ny teoria amin'ny toe-javatra mivaingana kokoa. Amin'ny fampiharana tsy tapaka, ny mpianatra dia antenaina hahatakatra sy hamaha olana mora kokoa.
