Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny fifandraisan'ny Product Moment
Ny Product-Moment Correlation, fantatra ihany koa amin'ny hoe Pearson Correlation, dia fomba statistika ampiasaina handrefesana ny tanjaky ny fifandraisana lineary eo amin'ny variables roa. Ity fomba ity dia ilaina amin'ny sehatra isan-karazany, manomboka amin'ny fikarohana akademika sy ny famakafakana ara-barotra ka hatramin'ny fanombanana ny fanandramana amin'ny siansa voajanahary. Ity lahatsoratra ity dia hiresaka momba ny olana maromaro sy ny vahaolana amin'izany amin'ny fikajiana ny Product-Moment Correlation.
Pendahuan
Alohan'ny hidirantsika amin'ireo fanontaniana ohatra, tsara ny mahatakatra ny foto-kevitra fototra momba ny Product Moment Correlation. Ny raikipohy ankapobeny ampiasaina hikajiana ny Pearson correlation coefficient (\(r\)) dia:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Aiza:
– \( n \) dia ny isan'ny angona tsiroaroa.
– Ny \( \sum{XY} \) dia ny fitambaran'ny vokatra azo avy amin'ny \( X \) sy \( Y \).
– Ny \( \sum{X} \) dia ny fitambaran'ny variables \( X \).
– Ny \( \sum{Y} \) dia ny fitambaran'ireo miovaova \( Y \).
– Ny \( \sum{X^2} \) dia ny fitambaran'ny efamira amin'ny fiovaovana \( X \).
– Ny \( \sum{Y^2} \) dia ny fitambaran'ny efamira amin'ny fiovaovana \( Y \).
Eo anelanelan'ny -1 sy 1 foana ny coefficient correlation an'i Pearson (\( r \)). Ny correlation tsara dia midika fa mihetsika amin'ny lalana iray ihany ireo variables roa ireo, raha toa kosa ny correlation ratsy dia midika fa rehefa mitombo ny variable iray dia mihena ny iray hafa. Raha \( r = 0 \), dia tsy misy correlation linear eo amin'ireo variables roa ireo.
Ohatra amin'ny Fanontaniana 1
Data
Ireto manaraka ireto ny isa azo tamin'ny fanadinana matematika sy fizika ho an'ny mpianatra 5:
| Mpianatra | Matematika (X) | Fizika (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Dingana hamahana
1. Fikajiana ireo singa manan-danja:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Ampidiro ao amin'ny raikipohy:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Fikajiana ny vokatra:
– Mpanoratra: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
- Mpamaritra:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \in'ny 1276} \eo ho eo \sqrt{976856} \eo ho eo 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \eo amin'ny 0.633 \]
Noho izany, ny koefisian'ny fifandraisan'i Pearson eo amin'ny isa azo tamin'ny fitsapana matematika sy fizika dia 0.633, izay midika fa misy fifandraisana tsara antonony eo amin'ireo variables roa.
Ohatra amin'ny Fanontaniana 2
Data
Ireto manaraka ireto ny angon-drakitra momba ny sandan'ny varotra sy ny fandaniana amin'ny dokam-barotra nandritra ny 6 volana tao amin'ny orinasa iray:
| Volana | Dokambarotra (X) | Varotra (Y) |
|——-|—————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Dingana hamahana
1. Fikajiana ireo singa manan-danja:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Ampidiro ao amin'ny raikipohy:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Fikajiana ny vokatra:
– Mpanoratra: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
- Mpamaritra:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \in'ny 4580000} \eo ho eo \sqrt{9343200000000} \eo ho eo 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \eo amin'ny 0.981 \]
Noho izany, ny koefisian'ny fifandraisan'i Pearson eo amin'ny fandaniana amin'ny dokam-barotra sy ny sandan'ny varotra dia 0.981, izay midika fa misy fifandraisana tsara tena matanjaka eo amin'ireo variables roa.
Famaranana
Fitaovana tena ilaina tokoa ny coefficient correlation Pearson (\(r\)) mba hahatakarana ny fifandraisana lineary eo amin'ny variables roa. Ao amin'ireo ohatra omena, dia hitantsika ny fomba fikajiana ny sandan'ny \(r\) sy ny fandikana azy. Ny correlation ambony kokoa (akaiky kokoa ny 1 na -1) dia manondro fifandraisana matanjaka kokoa, raha toa kosa ny correlation ambany kokoa (akaiky kokoa ny 0) dia manondro fifandraisana malemy kokoa. Zava-dehibe ny manamarika fa ny correlation dia tsy midika hoe antony; midika fotsiny izany fa misy fifandraisana eo amin'ireo variables roa.
