Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny foto-kevitry ny "Function Derivatives"
Ny derivative an'ny asa iray dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy izay manana fampiharana miely patrana amin'ny sehatra isan-karazany, toy ny fizika, toekarena ary injeniera. Ity lahatsoratra ity dia handrakotra ohatra olana maromaro ary hiresaka momba ny foto-kevitry ny derivative an'ny asa iray mba hanomezana fahatakarana lalindalina kokoa momba ity lohahevitra ity.
Famaritana fototra ny Derivatives
Alohan'ny hidirantsika amin'ireo fanontaniana ohatra, tsara ny mandinika fohifohy ny famaritana sy ny fototry ny derivatives. Ny derivative an'ny fonction \( f(x) \) eo amin'ny teboka \( x = a \) dia:
f'(a) = lim_{{h \to 0}} f(a+h) – f(a)}{h}
Ny asa \( f'(x) \) dia antsoina hoe asa derivative an'ny \( f(x) \).
Ohatra Fanontaniana 1: Teny nalaina avy amin'ny pôlinômia fototra
Fanontaniana:
Tadiavo ny derivative voalohany amin'ny asa \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \).
Dinika:
Ampiasao ny fitsipika fototra momba ny derivative \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \).
1. Ho an'ny \( 3x^3 \):
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. Ho an'ny \( -5x^2 \):
\[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. Ho an'ny \( 2x \):
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. Ho an'ny \( -7 \):
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
Noho izany:
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Ohatra Fanontaniana 2: Teny nalaina avy amin'ny asa trigonometrika
Fanontaniana:
Tadiavo ny derivative voalohany amin'ny asa \( g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Dinika:
Ampiasao ny fitsipiky ny vokatra \( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) miaraka amin'ny \( u(x) = \sin(x) \) ary \( v(x) = \cos(x) \).
1. Ny derivative an'ny \( \sin(x) \) dia \( \cos(x) \), ka \( u'(x) = \cos(x) \).
2. Ny derivative an'ny \( \cos(x) \) dia \( -\sin(x) \), ka \( v'(x) = -\sin(x) \).
Fanoloana \( u'(x) \) sy \( v'(x) \):
g'(x) = cos(x) cos(x) + sin(x) (-sin(x))
g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Ny vokatra farany:
g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Ohatra 3: Teny nalaina avy amin'ny asa exponential
Fanontaniana:
Tadiavo ny derivative voalohany amin'ny asa \( h(x) = e^{2x} \).
Dinika:
Ampiasao ny fitsipiky ny derivative an'ny fonction exponential \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) miaraka amin'ny \( k = 2 \).
\[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \]
\[ h'(x) = 2 \cdot e^{2x} \]
Ny vokatra farany:
\[ h'(x) = 2e^{2x} \]
Ohatra Fanontaniana 4: Teny nalaina avy amin'ny asa logaritmika
Fanontaniana:
Tadiavo ny derivative voalohany amin'ny asa \( p(x) = \ln(3x + 1) \).
Dinika:
Ampiasao ny fitsipiky ny derivative an'ny asa logaritmika \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) miaraka amin'ny \( u(x) = 3x + 1 \).
1. Tadiavo ny derivative anatiny \( u(x) = 3x + 1 \):
\[ u'(x) = 3 \]
2. Ampiasao ny fitsipika logaritmika derivative:
\[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \]
Ny vokatra farany:
\[ p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]
Ohatra Fanontaniana 5: Fampiharana ny Derivatives - Ambony indrindra sy Ambany indrindra
Fanontaniana:
Tadiavo ny sanda ambony indrindra sy ambany indrindra amin'ny asa \( q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5 \) eo amin'ny elanelam-potoana \( x \in [-2, 2] \).
Dinika:
1. Tadiavo ny derivative voalohany amin'ny \( q(x) \):
q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5)
q'(x) = -6x^2 + 6x + 12
2. Tadiavo ireo teboka tsy mihetsika amin'ny famahana ny \( q'(x) = 0 \):
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
Ireo teboka tsy mihetsika dia \( x = 2 \) sy \( x = -1 \).
3. Tombano ny \( q(x) \) amin'ny teboka mitsikera sy ny sisin-tany elanelana:
q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5
\[ = -16 + 12 + 24 – 5 \]
\[ = 15 \]
q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. Fanombanana ny vokatra:
– Ny sanda ambony indrindra dia mitranga amin'ny \( x = 2 \) miaraka amin'ny \( q(2) = 15 \).
– Ny sanda farany ambany indrindra dia mitranga amin'ny \( x = -1 \) miaraka amin'ny \( q(-1) = -12 \).
Penutup
Tena ilaina amin'ny sehatry ny siansa isan-karazany ny fahatakarana lalina ny foto-kevitry ny derivative an'ny asa iray. Antenaina fa hanampy anao handalina ny fahatakaranao ny foto-kevitra ireo ohatra sy ny fifanakalozan-kevitra etsy ambony. Amin'ny fampiharana, matetika isika no mila mampiaraka fitsipika sy teôria isan-karazany mba hamahana olana sarotra kokoa. Mirary soa amin'ny fianarana!
