Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny firafitry ny asa
Ny firafitry ny asa dia foto-kevitra iray ao amin'ny matematika izay ampiarahana asa roa ho iray. Raha asa roa ny \( f \) sy \( g \), dia asa vaovao voafaritra ho \( (f \circ g)(x) \) ny firafitry ny \( f \) sy \( g \) izay midika hoe \( f(g(x)) \). Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hiresaka momba ny olana maromaro momba ny firafitry ny asa isika ary ny fomba hamahana azy ireo mifandraika amin'ny firafitry ny asa.
1. Fahatakarana fototra momba ny firafitry ny asa
Alohan'ny hidirantsika amin'ireo fanontaniana ohatra, andeha ho fantarina fohifohy ny atao hoe composition de fonction.
Aoka hatao hoe misy asa roa \( f \) sy \( g \):
– Asa \( f \) : \( x \mapsto f(x) \)
– Asa \( g \) : \( x \mapsto g(x) \)
Ny firafitry ny \( f \) sy \( g \), izay soratana hoe \( f \circ g \), dia asa iray izay mahafeno ireto manaraka ireto:
(f g)(x) = f(g(x))
Eto, \( g(x) \) no fidirana amin'ny asa \( f \).
2. Ohatra Fanontaniana 1
Fanontaniana:
Raha omena ny asa \( f(x) = 2x + 3 \) sy ny asa \( g(x) = x – 5 \). Fantaro \( (f \circ g)(x) \) sy \( (g \circ f)(x) \).
Dinika:
Andeha kajintsika ny firafitra voalohany \( (f \circ g)(x) \):
(f g)(x) = f(g(x))
Dingana voalohany, ampidiro ao amin'ny \( f(x) \) ny \( g(x) \):
g(x) = x – 5
f(g(x)) = f(x – 5)
Dingana faharoa, ampidiro ao amin'ny fonction \( f \ ny \) ny \( x – 5 \):
f(x – 5) = 2(x – 5) + 3
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]
Koa, \( (f \circ g)(x) = 2x – 7 \).
Andeha isika izao hikajy ny firafitra faharoa \( (g \circ f)(x) \):
(g)(x) = g(f(x))
Dingana voalohany, ampidiro ao amin'ny \( g(x) \) ny \( f(x) \):
\[ f(x) = 2x + 3 \]
g(f(x)) = g(2x + 3)
Dingana faharoa, ampidiro ao amin'ny asa \(g \) ny \( 2x + 3 \):
g(2x + 3) = (2x + 3) – 5
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]
Koa, \( (g \circ f)(x) = 2x – 2 \).
3. Ohatra Fanontaniana 2: Firafitry ny Asa miaraka amin'ny Asa Efatra
Fanontaniana:
Raha omena ny asa \( f(x) = x^2 + 1 \) sy ny asa \( g(x) = 3x – 4 \). Fantaro \( (f \circ g)(x) \) sy \( (g \circ f)(x) \).
Dinika:
Andeha kajintsika ny firafitra voalohany \( (f \circ g)(x) \):
(f g)(x) = f(g(x))
Dingana voalohany, ampidiro ao amin'ny \( f(x) \) ny \( g(x) \):
g(x) = 3x – 4
f(g(x)) = f(3x – 4)
Dingana faharoa, ampidiro ao amin'ny fonction \( f \ ny \) ny \( 3x – 4 \):
f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
\[ = 9x^2 – 12x \cdot 2 + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]
Noho izany, \( (f \circ g)(x) = 9x^2 – 24x + 17 \).
Andeha isika izao hikajy ny firafitra faharoa \( (g \circ f)(x) \):
(g)(x) = g(f(x))
Dingana voalohany, ampidiro ao amin'ny \( g(x) \) ny \( f(x) \):
\[ f(x) = x^2 + 1 \]
g(f(x)) = g(x^2 + 1)
Dingana faharoa, ampidiro ao amin'ny fonction \( g \) ny \( x^2 + 1 \):
g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]
Koa, \( (g \circ f)(x) = 3x^2 – 1 \).
4. Ohatra Fanontaniana 3: Firafitry ny Asa Trigonometrika
Fanontaniana:
Raha omena ny asa \( f(x) = \sin x \) sy ny asa \( g(x) = x^2 \). Fantaro \( (f \circ g)(x) \) sy \( (g \circ f)(x) \).
Dinika:
Andeha kajintsika ny firafitra voalohany \( (f \circ g)(x) \):
(f g)(x) = f(g(x))
Dingana voalohany, ampidiro ao amin'ny \( f(x) \) ny \( g(x) \):
g(x) = x^2
f(g(x)) = f(x^2)
Dingana faharoa, ampidiro ao amin'ny fonction \( f \ ny \) ny \( x^2 \):
f(x^2) = sin (x^2)
Koa, (f g)(x) = sin (x^2)).
Andeha isika izao hikajy ny firafitra faharoa \( (g \circ f)(x) \):
(g)(x) = g(f(x))
Dingana voalohany, ampidiro ao amin'ny \( g(x) \) ny \( f(x) \):
f(x) = sin x
g(f(x)) = g(\sin x)
Dingana faharoa, ampidiro ao amin'ny fonction \( g \) ny \( \sin x \):
g(\sin x) = (\sin x)^2 \]
\[ = \sin^2 x \]
Koa, \( (g \circ f)(x) = \sin^2 x \).
Famaranana
Ny firafitry ny asa dia fomba iray hampiarahana asa roa ho asa tokana. Tamin'ny alalan'ireo ohatra etsy ambony ireo, dia nianatra isika fa ny dingan'ny firafitry ny asa dia ny fanoloana asa iray amin'ny iray hafa. Ny vokatra farany amin'ny firafitry ny asa dia miankina betsaka amin'ny filaharan'ny fampiharana ireo asa voalohany.
Zava-dehibe ny mahatakatra fa ny \( (f \circ g)(x) \) dia tsy mitovy foana amin'ny \( (g \circ f)(x) \), ary mety ho tena manan-danja io fahasamihafana io amin'ny fampiharana isan-karazany ny matematika sy ny siansa. Noho izany, ny fahatakarana ny fototra sy ny fomba fikajiana ny firafitry ny asa dia tena zava-dehibe ho an'izay rehetra mianatra matematika amin'ny ambaratonga antonony na ambony.
Antenaina fa hahasoa ny mpamaky ny fifanakalozan-kevitra sy ireo ohatra amin'ny fanontaniana etsy ambony ary hanampy azy ireo hahatakatra ny firafitry ny asa.
