Ohatra amin'ny fanontaniana momba ny fizarana kônika eliptika
Pendahuan
Siansa fototra ny matematika izay mitana anjara toerana lehibe amin'ny lafiny maro samihafa amin'ny fiainan'olombelona. Ny lohahevitra iray tena sarotra amin'ny matematika dia ny jeometrika, indrindra fa ny fizarana kônika. Ato amin'ity lahatsoratra ity dia hiresaka momba ny fizarana kônika iray isika: ny ellipse. Ity lahatsoratra ity dia hanome ohatra amin'ny olana sy fifanakalozan-kevitra feno momba ny ellipse, izay antenainay fa hanampy ny mpianatra hahatakatra lalindalina kokoa ity lohahevitra ity.
Famaritana sy Toetran'ny Ellipses
Alohan'ny hidirantsika amin'ireo fanontaniana ohatra, dia tsara ny mahatakatra aloha ny atao hoe ellipse. Ny ellipse dia fitambaran'ireo teboka rehetra ao anaty fiaramanidina izay tsy miova ny fitambaran'ny elanelana amin'ny teboka roa raikitra (ny foci-ny). Ireo teboka raikitra roa ireo dia antsoina hoe foci-n'ny ellipse (F1 sy F2).
Amin'ny endrika aljebra, ny ellipse dia azo faritana amin'ny alàlan'ny fampitoviana ankapobeny:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
izay \(a \) ny elanelana manomboka eo afovoan'ny ellipse ka hatrany amin'ny teboka lavitra indrindra eo amin'ny axe lehibe, ary \(b \) ny elanelana manomboka eo afovoan'ny ellipse ka hatrany amin'ny teboka lavitra indrindra eo amin'ny axe mpanampy.
Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny elipsis
Fanontaniana 1:
Ny fitoviana amin'ny ellipse dia \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). Fantaro ny halavan'ny axe lehibe, ny halavan'ny axe mpanampy, ary ny koordinate an'ny foci.
Dinika:
Ny fitoviana amin'ny ellipse nomena dia \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\).
1. Fantaro ny halavan'ny axe lehibe sy ny axe mpanampy:
\[ a^2 = 25 \Rightarrow a = \sqrt{25} = 5 \]
\[ b^2 = 9 \Rightarrow b = \sqrt{9} = 3 \]
Koa, ny halavan'ny axe lehibe \(= 2a = 2(5) = 10\).
Ny halavan'ny axe mpanampy \(= 2b = 2(3) = 6\).
2. Fantaro ny koordinate ifantohana:
Eo amin'ny axe lehibe no misy ny fifantohan'ny ellipse, lavitry ny foiben'ny \(\sqrt{a^2 – b^2}\).
c = a^2 – b^2 = 25 – 9 = 16 = 4
Koa satria ny axe-x no axe lehibe indrindra amin'ity ellipse ity, dia ireto ny koordinate ifantohana:
\( (c, 0) \) sy \( (-c, 0) \) na \( (4, 0) \) sy \( (-4, 0) \).
Fanontaniana 2:
Raha omena elipse iray izay ivon'ny \( (0, 0) \) ary ny axe major eo amin'ny axe-x, dia manana halavan'ny axe major 12 ary halavan'ny axe mpanampy 8. Fantaro ny equation-n'ny elipse.
Dinika:
1. Raha jerena ny halavan'ny axe lehibe \( 2a = 12 \), dia:
\[ a = \frac{12}{2} = 6 \]
2. Raha jerena ny halavan'ny axe mpanampy \( 2b = 8 \), dia:
\[ b = \frac{8}{2} = 4 \]
Ny fampitoviana amin'ny ellipse misy ny foibeny eo amin'ny \( (0, 0) \) ary ny axe majora eo amin'ny axe-x dia:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Soloy ao amin'ny fampitoviana ny \( a \) sy \( b \):
\[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \]
Noho izany, ny equation an'ny ellipse dia:
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \]
Fanontaniana 3:
Fantaro ny eccentricité-n'ny ellipse \(\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1\).
Dinika:
Ny eccentricité (\( e \)) an'ny ellipse dia omen'ny raikipohy:
\[ e = \frac{c}{a} \]
izay \( c = \sqrt{a^2 – b^2} \).
Avy amin'ny equation ellipse, mahazo isika:
\[ a^2 = 49 \Rightarrow a = 7 \]
\[ b^2 = 36 \Rightarrow b = 6 \]
Ankehitriny, hitantsika \( c \):
c = a^2 – b^2 = 49 – 36 = 13
Fahasamihafana (\( e \)):
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
Noho izany, ny eccentricité an'ny ellipse dia:
\[ e = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
Fanontaniana 4:
Raha toa ka eo amin'ny \( (-5, 0) \) sy \( (5, 0) \) ireo teboka ifantohan'ny ellipse roa, ary 12 ny halavan'ny axe lehibe amin'ny ellipse, dia farito ny fitoviana misy eo amin'ny ellipse.
Dinika:
1. Fantaro ny \( a \) :
12 ny axe lehibe Panmaßn g, dia \( 2a = 12 \).
Koa \( a = \frac{12}{2} = 6 \).
2. Fantaro ny \( c \) :
Ireo teboka roa ifantohana dia \( (-5, 0) \) sy \( (5, 0) \), avy eo:
\[ c = 5 \]
3. Fantaro ny \( b \) :
Ampiasao ny fifandraisana \( c = \sqrt{a^2 – b^2} \):
\[ 5 = \sqrt{6^2 – b^2} \]
\[ 25 = 36 – b^2 \]
\[ b^2 = 36 – 25 \]
\[ b^2 = 11 \]
4. Avereno ny fitoviana amin'ny ellipse:
Ny equation an'ny ellipse dia:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Fanoloana ny \( a \) sy \( b \):
\[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{\sqrt{11}^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
Noho izany, ny equation an'ny ellipse dia:
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
Penutup
Amin'ny alalan'ny fifanakalozan-kevitra momba ireo olana etsy ambony ireo, dia hitantsika fa ny fahatakarana ny ellipse dia tsy vitan'ny hoe mandalina ny fampitoviana sy ny grafika fotsiny, fa koa ny fifandraisan'ny toetra sy ny singa ao amin'ny ellipse. Ny fahaizana mifehy ity fitaovana ity dia tsy isalasalana fa tena ilaina amin'ny sehatra fampiharana isan-karazany, toy ny fizika, astronomia, ary sehatra injeniera hafa. Antenaina fa amin'ny alalan'ireo ohatra olana sy fifanakalozan-kevitra ireo, dia ho azonao tsara kokoa ny foto-kevitra fototra sy ny fampiharana ny fizarana kônika elliptika.
Nosoratana ity lahatsoratra ity mba hanomezana fahatakarana lalindalina kokoa momba ny ellipse. Tohizo ny fampiharana ary aza misalasala mikaroka olana mifandraika amin'izany mba hanatsarana ny fahaizanao sy ny fahalalanao!
