Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny trangan-javatra kuantum
Ny trangan-javatra kwantika, na trangan-javatra fehezin'ny mekanika kwantika, dia mahafaoka karazana foto-kevitra sy fitsipika maro izay mitaky fahatakarana lalina sy fahasarotana matematika. Ny mekanika kwantika dia sampana fizika izay mamaritra ny fitondran-tenan'ny poti-javatra subatomika, toy ny elektrôna sy ny fotona, izay tsy azo hazavaina amin'ny fizika klasika. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia handinika olana maromaro sy ny vahaolana mifandraika amin'ny trangan-javatra kwantika isika mba hanampiana amin'ny fahatakarana ireo foto-kevitra fototry ny mekanika kwantika.
Ohatra Fanontaniana 1: Fitsipiky ny Tsy Fiantraikan'i Heisenberg
Fanontaniana:
Fantatra fa ny toerana misy ny elektrôna ao anaty atôma dia refesina amin'ny fahamarinan'ny \( \Delta x = 0.1 \text{ nm} \). Fantaro ny tsy fahazoana antoka farany ambany indrindra amin'ny fandrefesana ny herin'ny elektrôna (\( \Delta p \)) amin'ny fampiasana ny fitsipiky ny tsy fahazoana antoka an'i Heisenberg.
Valiny:
Ny fitsipiky ny tsy fahazoana antoka an'i Heisenberg dia milaza hoe:
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
izay \( \hbar \) no tsy miovaova Planck mihena, miaraka amin'ny sanda \( \hbar \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ Js} \).
Soloy \( \Delta x = 0.1 \text{ nm} = 0.1 \times 10^{-9} \text{ m} \):
\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 0.1 \times 10^{-9}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} = 5.27 \times 10^{-25} \text{ kg m/s} \]
Koa ny tsy fahazoana antoka farany ambany indrindra amin'ny fandrefesana ny herin'ny elektrôna dia \( 5.27 \times 10^{-25} \text{ kg m/s} \).
Ohatra Fanontaniana 2: Angovo mety hitranga ao anaty boaty (Poti ao anaty boaty)
Fanontaniana:
Voafandrika ao anaty boaty iray refy mirefy L ny poti iray manana lanja m. Inona ny angovo fototra (angovo amin'ny toetry ny tany) an'ilay poti?
Valiny:
Ny angovo fototra (angovo fototra) an'ny singa iray ao anaty boaty iray refy dia omen'ny raikipohy:
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \]
Ho an'ny toetry ny tany (\( n=1 \)):
\[ E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} \]
izay \( h \) no tsy miovaovan'i Planck \( (h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}) \).
Aoka hatao hoe \( m = 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg} \) (ny lanjan'ny elektrôna) ary \( L = 1 \times 10^{-9} \text{ m} \):
\[ E_1 = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9.109 \times 10^{-31} \times (1 \times 10^{-9})^2} \]
\[ E_1 = \frac{4.39 \times 10^{-67}}{7.287 \times 10^{-50}} \]
\[ E_1 = 6.02 \x 10^{-18} \text{ J} \]
Koa ny angovo fototra an'ilay poti dia \( 6.02 \times 10^{-18} \text{ J} \).
Ohatra 3: Hetsika Hamiltonian Operator amin'ny Onjan'ny Onja
Fanontaniana:
Ny fiasan'ny onjan'ny singa iray ao anaty boaty iray refy dia \( \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \) ho an'ny \( n=1,2,3,\ldots \). Fantaro ny angovon'ny singa amin'ny fampiasana ny mpandraharaha Hamiltonian \( \hat{H} \).
Valiny:
Ny operator Hamiltonian amin'ny refy iray dia:
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \]
Tsy maintsy ampiharintsika amin'ny fonction wave ny operator Hamiltonian \( \psi(x) \):
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
Ny teny voalohany avy amin'ny \( \psi(x) \):
\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( \frac{n\pi}{L} \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
Teny nalaina faharoa:
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( -\left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
Ankehitriny, soloo amin'ny operator Hamiltonian ny valiny:
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
Avy eto dia hitantsika fa:
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \psi(x) \]
Noho izany, ny angovon'ny singa dia:
\[ E_n = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \]
Aoka hatao hoe te-hahita ny angovo ho an'ny \( n=1 \) isika:
\[ E_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \]
Famaranana
Ny famahana olana mifandraika amin'ny trangan-javatra kwantika dia mitaky fahatakarana matotra momba ireo foto-kevitra fototry ny mekanika kwantika, toy ny fitsipiky ny tsy fahazoana antoka Heisenberg sy ny angovon'ny poti-javatra ao anaty boaty mety. Amin'ny alalan'ny ohatra maromaro momba ny olana sy ny fifanakalozan-kevitra momba azy ireo, dia manantena izahay fa hanampy amin'ny fanamafisana ny foto-kevitra fototra momba ny mekanika kwantika sy ny fampiharana azy amin'ny toe-javatra fizika isan-karazany. Na dia mety ho toa sarotra aza ny mekanika kwantika, ny olana amin'ny fampiharana sy ny fahatakarana ny hevitra dia hanampy betsaka amin'ny fifehezana ity fitaovana fototra ity.
