Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny asa efatra
Lohahevitra manan-danja resahina amin'ny matematika ny fiasa efatra, indrindra amin'ny matematika faharoa. Ity fiasa ity dia manana endrika ankapobeny \( f(x) = ax^2 + bx + c \), izay \(a\), \(b\), ary \(c\) dia tsy miovaova miaraka amin'ny \(a \neq 0\). Ity lahatsoratra ity dia hiresaka momba ny olana maromaro mifandraika amin'ny fiasa efatra miaraka amin'ny fanazavana amin'ny antsipiriany mba hanampiana ny mpianatra hahatakatra bebe kokoa ity hevitra ity.
1. Famaritana ny fakany amin'ny asa efatra
Fanontaniana 1: Tadiavo ny fakany amin'ity asa quadratic manaraka ity:
f(x) = 2x^2 – 3x – 5
Dinika:
Mba hahitana ny fakany amin'ny asa quadratic, dia afaka mampiasa ny raikipohy quadratic isika, izany hoe:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Ao amin'ny asa quadratic \( f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \), dia afaka mamantatra ny sandan'ny \(a\), \(b\), ary \(c\) isika:
– \( a = 2 \)
– \( b = -3 \)
– \( c = -5 \)
Ireto avy ireo dingana:
1. Tadiavo ny mpanavaka (\( \Delta \)):
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-3)^2 – 4(2)(-5) \]
\[ \Delta = 9 + 40 \]
\[ \Delta = 49 \]
2. Ampiasao ny raikipohy quadratic mba hahitana ny fakany:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 7}{4} \]
Koa mahazo vahaolana roa isika:
\[ x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Koa ny fakany amin'ilay asa dia \( x = 2.5 \) sy \( x = -1 \).
2. Famaritana ny tendrony amin'ny asa efatra
Fanontaniana 2: Fantaro ny tendron'ity asa quadratic manaraka ity:
g(x) = -x^2 + 4x – 3
Dinika:
Azo faritana amin'ny alalan'ny raikipohy ny tendron'ny asa quadratic:
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a} \]
Ao amin'ny asa quadratic \( g(x) = -x^2 + 4x – 3 \), dia afaka mamantatra ny sandan'ny \(a\), \(b\), ary \(c\) isika:
– \( a = -1 \)
– \( b = 4 \)
– \( c = -3 \)
Ireto avy ireo dingana:
1. Tadiavo ny sandan'ny \( x \) an'ny vertex:
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-4}{-2} \]
\[ x_{\text{vertex}} = 2 \]
2. Tadiavo ny sandan'ny \( y \) amin'ny alàlan'ny fanoloana ny \( x_{\text{vertex}} \) ao amin'ny asa:
\[ y_{\text{vertex}} = g(2) \]
\[ y_{\text{vertex}} = – (2)^2 + 4(2) – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = -4 + 8 – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = 1 \]
Koa ny tendron'ny asa dia \( (2, 1) \).
3. Fanaovana sary grafika momba ny asa efatra
Fanontaniana 3: Manaova grafika ho an'ity asa efatra manaraka ity:
\[ h(x) = x^2 – 2x – 3 \]
Dinika:
Alohan'ny hanoratana grafika momba ny asa kuadratika dia mila fantarintsika ireo teboka manan-danja maromaro, toy ny fakany, ny tendrony ary ny lalana izoran'ny parabola.
Famantarana ny fakany
Azontsika ampiasaina ny raikipohy quadratic mba hahitana ny fakany \( h(x) = x^2 – 2x – 3 \):
\[ a = 1 \]
\[ b = -2 \]
\[ c = -3 \]
1. Kajy ny mpanavaka:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-2)^2 – 4(1)(-3) \]
\[ \Delta = 4 + 12 \]
\[ \Delta = 16 \]
2. Kajy ny fakany:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Koa mahazo vahaolana roa isika:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Famaritana ny Teboka Tendrony
3. Ampiasao ny raikipohy vertex:
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\text{vertex}} = 1 \]
4. Kajy ny sandan'ny \( y \):
\[ y_{\text{vertex}} = h(1) \]
\[ y_{\text{vertex}} = (1)^2 – 2(1) – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = 1 – 2 – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = -4 \]
Koa ny tendrony dia \( (1, -4) \).
Sary an-tsary
– Ny fakany dia eo amin'ny \( x = 3 \) sy \( x = -1 \).
– Ny tendrony dia eo amin'ny \( (1, -4) \).
– Koa satria \( a > 0 \), dia misokatra miakatra ny parabola.
Ataovy sary an-tsaina ireo teboka manan-danja ireo ary manaova parabola iray mandalo azy ireo.
Amin'ny fahatakarana ny fakany, ny tendrony ary ny lalana izoran'ny parabola, dia afaka manao grafika tonga lafatra kokoa momba ny asa kuadratika isika.
Famaranana
Ny asa kadratika dia foto-kevitra fototra amin'ny matematika izay miely patrana ny fampiharana azy. Ny fahatakarana ny asa kadratika dia manampy antsika handalina ny fahatakarantsika ireo foto-kevitra hafa amin'ny matematika sy ny siansa ampiharina. Amin'ny fampiharana amin'ny ohatra sy ny fahatakarana ireo dingana hamahana azy ireo, dia antenaina fa hihalalina sy ho azo ampiharina kokoa ny fahatakarantsika ny asa kadratika.
