Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny fiasan'ny fizarana binomial
Ny fizarana binomial dia fizarana mety hitranga misaraka izay mamaritra ny isan'ny fahombiazana amin'ny andrana iray ahitana andrana mahaleo tena maromaro miaraka amin'ny vokatra roa mety hitranga: fahombiazana sy tsy fahombiazana. Ny andrana tsirairay dia antsoina hoe andrana, ary ny fizarana binomial dia matetika ampiasaina amin'ny toe-javatra izay mahaliana ny isan'ny fahombiazana amin'ny andrana mahaleo tena maromaro. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hiresaka momba ny foto-kevitra fototra momba ny fizarana binomial isika ary hanome ohatra sy vahaolana.
Hevitra fototra momba ny fiasan'ny fizarana binomial
Alohan'ny hidirantsika amin'ireo fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ireo ohatra, andeha hojerentsika ny hevitra fototra sasany mifandraika amin'ny fizarana binomial.
1. Famaritana: Ny fizarana binomial dia faritana ho ny fitambaran'ny fahombiazana amin'ny fitsapana tsy miankina 'n', izay ahitana vokatra roa mety hitranga amin'ny fitsapana tsirairay: fahombiazana (miaraka amin'ny mety ho p) na tsy fahombiazana (miaraka amin'ny mety ho q = 1 – p).
2. Asa mety hitranga: Ny asa mety hitranga amin'ny fizarana binomial dia:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Aiza:
– \( P(X = k) \) dia ny mety hisian'ny fahombiazana k amin'ny andrana n.
– \( \binom{n}{k} \) dia fitambaran'ny n take k, izay faritana ho \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) dia ny mety ho fahombiazana amin'ny andrana tsirairay.
– \( (1-p) \) dia ny mety hisian'ny tsy fahombiazana amin'ny andrana tsirairay.
3. Sanda sy Fiovaovana Andrasana:
– Ny sanda andrasana (salan'isa) amin'ny fizarana binomial dia \( \mu = np \).
– Ny fiovaovan'ny fizarana binomial dia \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Andeha isika hampihatra ireo hevitra ireo amin'ny ohatra iray amin'ny olana mba hahazoana fahatakarana lalindalina kokoa.
Ohatra Fanontaniana 1: Kajy fototra momba ny Fizarana Binomial
Fanontaniana:
Orinasa iray mamokatra singa elektronika miaraka amin'ny mety ho fahombiazan'ny fitsapana kalitao 0.95. Raha singa 10 no vokarina, kajio ny mety ho fahombiazan'ny fitsapana kalitao ho an'ny singa 8 marina.
Dinika:
Afaka mampiasa ny raikipohy fizarana binomial isika hamahana ity olana ity. Voalohany, fantarinay ireto masontsivana manaraka ireto:
– \( n \) (isan'ny fitsapana rehetra) = 10
– \( k \) (isan'ny fahombiazana) = 8
– \( p \) (mety hahomby) = 0.95
– \( q \) (mety tsy hahomby) = 1 – 0.95 = 0.05
Avy eo dia soloo ao amin'ny raikipohy fizarana binomial ireto soatoavina ireto:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Voalohany, kajy ny fitambarana \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Avy eo, kajy ny mety ho azo atao \( (0.95)^8 \) sy \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \ eo ho eo 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Farany, ampitomboy ireo soatoavina rehetra ireo mba hahazoana:
\[
P(X = 8) = 45 x 0.6634 x 0.0025 x eo ho eo 0.0744
\]
Noho izany, ny mety ho fahombiazan'ny singa 8 amin'ny 10 marina amin'ny fitsapana kalitao dia eo amin'ny 0.0744 na 7.44%.
Ohatra Fanontaniana 2: Fahafahana Mitambatra
Fanontaniana:
Mbola amin'io orinasa io ihany, kajio ny mety hisian'ny singa 9 amin'ny 10 farafahakeliny mahomby amin'ny fitsapana kalitao.
Dinika:
Mba hamahana ity olana ity dia mila kajy ny mety ho fitambaran'isa isika. Ny mety ho fahombiazan'ny singa 9 amin'ny 10 farafahakeliny amin'ny fitsapana dia midika fa kajy \( P(X \geq 9) \), izay azo soratana toy izao:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Mampiasa ny raikipohy fizarana binomial:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Voalohany, kajy ny fitambarana ho an'ny tranga tsirairay:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Avy eo, kajy ny mety ho vitan'ny \( P(X = 9) \) sy \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 x (0.95)^9 x 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \ eo ho eo 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 x 0.6302 x 0.05 x eo ho eo 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 (0.95)^{10} (1)
\]
\[
(0.95)^{10} \ eo ho eo 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Ny mety ho tanteraka amin'ny \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \approx 0.9138
\]
Noho izany, ny mety hisian'ny singa 9 amin'ny 10 farafahakeliny mahomby amin'ny fitsapana kalitao dia eo amin'ny 0.9138 na 91.38%.
Ohatra Fanontaniana 3: Sanda andrasana sy Fiovaovana
Fanontaniana:
Kajy ny sanda andrasana sy ny fiovaovan'ny isan'ny singa mahomby amin'ny fitsapana kalitao amin'ny singa 10 novokarina, miaraka amin'ny mety ho fahombiazany 0.95.
Dinika:
Ampiasao ity raikipohy manaraka ity:
– Sanda andrasana (salan'isa) \( \mu = np \)
– Fiovaovana \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Miaraka amin'ny \( n = 10 \) sy \( p = 0.95 \):
\[
√ = 10 x 0.95 = 9.5
\]
\[
√² = 10 x 0.95 x 0.05 = 0.475
\]
Noho izany, ny sandan'ny isan'ny singa mahomby amin'ny fitsapana kalitao dia 9.5, ary ny fiovaovana dia 0.475.
Famaranana
Amin'ny alalan'ireo ohatra telo etsy ambony ireo, dia noresahintsika ny fomba fikajiana ny mety ho azo amin'ny fampiasana ny fizarana binomial ho an'ny toe-javatra samihafa: fikajiana ny mety ho azo marina, ny mety ho azo mitambatra, ary ny fikajiana ny sanda sy ny fiovaovan'ny vokatra andrasana. Ny fahalalana ny fizarana binomial dia ilaina amin'ny sehatra samihafa, toy ny famokarana, ny fikarohana ara-pitsaboana, ary ny antontan'isa ara-tsosialy, izay ahafahana mamakafaka ny vokatry ny fanandramana miverimberina miaraka amin'ny vokatra roa mety hitranga mba hanampiana amin'ny fandraisana fanapahan-kevitra. Antenaina fa ireo ohatra olana sy fifanakalozan-kevitra omena dia hanampy anao hahatakatra bebe kokoa ny fizarana binomial.
