Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny fizarana binomial
Ny fizarana binomial dia iray amin'ireo fizarana mety hitranga tsy misy dikany ampiasaina matetika indrindra. Ilaina amin'ny famolavolana ny isan'ny fahombiazana amin'ny fitsapana mitovy sy mahaleo tena maromaro izy io, izay samy miteraka fahombiazana na tsy fahombiazana. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia handinika lalindalina kokoa ny fizarana binomial isika amin'ny fanomezana ohatra maromaro sy fifanakalozan-kevitra amin'ny antsipiriany.
Fampidirana ny Fizarana Binomial
Toetra mampiavaka ny fizarana binomial:
1. n : Isan'ny fitsapana na famerimberenana.
2. p : Ny mety ho fahombiazana amin'ny fitsapana tsirairay.
3. q = 1-p : Ny mety hisian'ny tsy fahombiazana amin'ny andrana tsirairay.
Ny fiasan'ny lanjan'ny mety ho vitan'ny fizarana binomial dia:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
Aiza:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Fiovaovana kisendrasendra maneho ny isan'ny fahombiazana.
– \( k \): Ny isan'ny fahombiazana notadiavina.
Fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra santionany
Andeha isika hanomboka amin'ny ohatra vitsivitsy amin'ny olana mba hahatakarana bebe kokoa ny foto-kevitry ny fizarana binomial.
Ohatra 1: Misafidy avy amin'ny vondron'ny mpianatra
Ohatra, aoka hatao hoe manana vondrona mpianatra 10 isika, ary ny mety ho fidina tsirairay handray anjara amin'ny fifaninanana dia 0,3. Tianay ho fantatra ny mety ho fidina 4 marina ny mpianatra.
Dingana 1: Fantaro ireo masontsivana amin'ny fizarana binomial.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
Dingana 2: Ampiasao ny fizarana binomial mba hikajiana ny mety ho vitan'ny \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Kajy \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Kajio izao \( (0.3)^4 \) sy \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Noho izany,
P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
Noho izany, ny mety ho fifantenana mpianatra 4 marina dia eo amin'ny 0.20012 na 20.012% eo ho eo.
Ohatra 2: Mety ho latsaky ny na mitovy amin'ny 2
Ankehitriny, ohatra, anontaniana momba ny mety hisian'ny mpianatra latsaky ny na mitovy amin'ny 2 no hofantenana isika.
Dingana 1: Tsy maintsy kajintsika ny \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), ary \( P(X = 2) \).
– Ho an'ny \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Ho an'ny \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Ho an'ny \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Dingana 2: Ampio ny mety ho vokany.
P(X = 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X √2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671
Noho izany, ny mety hisian'ny mpianatra latsaky ny na mitovy amin'ny 2 no voafantina dia eo amin'ny 0.7740671 na 77.41% eo ho eo.
Ohatra 3: Fahafahana farafahakeliny 8
Raha atao in-12 ny andrana iray, ary 0.5 ny mety ho fahombiazana amin'ny andrana tsirairay, inona ny mety hisian'ny fahombiazana farafahakeliny 8?
Dingana 1: Mametraha ireo masontsivana binomial: \( n = 12, p = 0.5 \).
Dingana 2: Tadiavo ny mety ho vitan'ny \( X \geq 8 \).
Izany dia mitaky fikajiana ny mety ho fisian'ny tranga maromaro ary ny fampiarahana azy ireo:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Isao tsirairay:
– Ho an'ny \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
P(X = 8) = 495 0.0002441406 = 0.1208496
– Ho an'ny \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
P(X = 9) = 220 0.0002441406 = 0.05371094
– Ho an'ny \( P(X = 10) \):
P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
P(X = 10) = 66 0.0002441406 = 0.01611328
– Ho an'ny \( P(X = 11) \):
P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
P(X = 11) = 12 0.0002441406 = 0.002929688
– Ho an'ny \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
P(X = 12) = 1 0.0002441406 = 0.0002441406
Dingana 3: Ampio ny mety ho vita rehetra.
P(X 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 eo ho eo 0.1938477
Noho izany, ny mety hisian'ny fahombiazana 8 farafahakeliny amin'ny andrana 12 dia eo amin'ny 0.1938477 na 19.38%.
Famaranana
Ny fizarana binomial dia foto-kevitra fototra amin'ny statistika izay tena ilaina amin'ny fampiharana maro. Amin'ny fahatakarana ny fomba fikajiana ny mety ho vitan'ny tranga samihafa amin'ny fizarana binomial, araka ny aseho amin'ireo ohatra etsy ambony, dia afaka mampihatra io foto-kevitra io amin'ny toe-javatra tena misy isika. Ity fampiharana ity koa dia manamafy ny fahatakarantsika ny fomba fiasan'ny rafitra mety ho vitan'ny zavatra mazava sy voalamina.
