Ohatra amin'ny fanontaniana momba ny isa sarotra
Matetika no resahin'ny matematika ny isa sarotra na any amin'ny lise na any amin'ny oniversite. Misy fizarana roa ny isa sarotra: ny ampahany tena izy sy ny ampahany foronina. Amin'ny fampiasana fanamarihana mahazatra, ny isa sarotra dia soratana hoe \( z = a + bi \), izay isa tena izy ny \( a \) sy \( b \), ary ny \( i \) dia singa foronina misy ny toetra \( i^2 = -1 \). Ity lahatsoratra ity dia handrakotra ohatra maromaro sy ny fifanakalozan-kevitra momba ny isa sarotra, manomboka amin'ny asa fototra ka hatramin'ny fampiharana amin'ny famahana olana.
Fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra santionany
1. Fanampiana sy Fanalana Isa Sarotra
Fanontaniana 1
Avelao \( z_1 = 3 + 4i \) ary \( z_2 = 1 – 2i \). Kajy \( z_1 + z_2 \) sy \( z_1 – z_2 \).
Discussion
Mba hanampiana na hanesorana isa sarotra, dia ampiasainay fotsiny ny ampahany tena izy miaraka amin'ny tena izy ary ny ampahany foronina miaraka amin'ny foronina.
Fanampiny:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Fanalana:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Noho izany, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) ary \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Fampitomboana ny isa sarotra
Fanontaniana 2
Kajy ny vokatra azo avy amin'ny \( z_1 = 2 + 3i \) amin'ny \( z_2 = 4 – i \).
Discussion
Mba hampitomboana isa sarotra roa, dia mampiasa ny toetra mizara ny algebra isika:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Ampitomboinay ny singa tsirairay:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Koa satria \( i^2 = -1 \), dia:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Koa, ny vokatra \( z_1 \cdot z_2 \) dia \( 11 + 10i \).
3. Fizarana ny Isa Sarotra
Fanontaniana 3
Kajy ny quotient an'ny \( z_1 = 3 + 4i \) amin'ny \( z_2 = 1 – i \).
Discussion
Mba hizarana isa sarotra iray, dia ampitombointsika amin'ny konjugatan'ny mpanefy ny isa sarotra ny mpanisa sy ny mpamaritra. Ny konjugatan'ny \( 1 – i \) dia \( 1 + i \).
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Andeha hojerentsika aloha ny denominator:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Ankehitriny dia kajintsika ny numerator:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Koa, ny vokatra dia:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Modulus sy ny Argumentan'ny Isa Sarotra
Fanontaniana 4
Fantaro ny modulus sy ny argument an'ny \( z = 1 + i \).
Discussion
Ny modulus-n'ny isa sarotra \( z = a + bi \) dia:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Ho an'ny \( z = 1 + i \), dia manana \( a = 1 \) sy \( b = 1 \ isika:
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Ny tohan-kevitry ny isa sarotra dia ny zoro \( \theta \) miforona miaraka amin'ny axe tena izy tsara, refesina avy amin'ny fiandohana mankany amin'ny teboka \( (a, b) \).
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Koa, ny modulus an'ny \( z = 1 + i \) dia \( \sqrt{2} \) ary ny tohan-kevitra dia \( \frac{\pi}{4} \).
5. Endrika Exponential sy Lamina Euler
Fanontaniana 5
Avadiho ho endrika eksponensialy ny isa sarotra \( z = 1 + i \).
Discussion
Endrika eksponensialy amin'ny isa sarotra mampiasa ny raikipohy Euler:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Izay ny \( r \) no modulus ary ny \( \theta \) no adihevitra. Avy amin'ny fifanakalozan-kevitra teo aloha, fantatsika fa:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
Noho izany, ny endrika eksponensialy dia:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Fakan'ny Isa Sarotra
Fanontaniana 6
Tadiavo ny fakany efamira amin'ny isa sarotra \( z = -1 \).
Discussion
Azo jerena amin'ny alalan'ny endrika polar na exponential ny fakany efamira amin'ny isa sarotra. Avadintsika ho endrika exponential ny \( z = -1 \):
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Azo soratana toy izao ny fakany efamira an'ny \( e^{i\pi} \):
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
Miaraka amin'ny \( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), ary \( k = 0, 1 \):
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Koa, ny fakany efamira an'ny \( -1 \) dia \( i \) sy \( -i \).
7. Fampiharana amin'ny fampitoviana efatra
Fanontaniana 7
Vahao ny equation quadratique \( z^2 + 4z + 13 = 0 \).
Discussion
Afaka mampiasa ny raikipohy quadratic isika:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Ho an'ny fampitoviana \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Koa, ny vahaolana amin'ny \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) dia \( z = -2 + 3i \) sy \( z = -2 – 3i \).
Famaranana
Hevitra matematika midadasika be ny isa sarotra ary maro ny fampiharana azy. Amin'ny alalan'ny fahatakarana ny asa fototra toy ny fanampiana, fanalana, fampitomboana ary fizarana, ary koa ny fomba fikajiana ny modulus sy ny argument, dia afaka mamaha olana isan-karazany mahakasika ny isa sarotra isika. Antenaina fa hanampy anao hahatakatra sy hahafehy tsara kokoa ity lohahevitra ity ireo ohatra etsy ambony.
