Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny fitsipika momba ny famenoana toerana banga
Ny fitsipika famenoana toerana, na ny fitsipiky ny fametrahana, dia foto-kevitra fototra amin'ny matematika sy ny mety ho azo atao izay tena ilaina amin'ny toe-javatra maro. Ity fitsipika ity dia matetika ampiasaina amin'ny fandaminana zavatra amin'ny filaharana manokana na amin'ny fandaminana samihafa. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hiresaka momba ny olana maromaro mifandraika amin'ny fitsipika famenoana toerana isika, ary hanome vahaolana amin'ny antsipiriany ho an'ny tsirairay.
Pendahuan
Teknika mahazatra ampiasaina amin'ny kombinatorika ny famenoana toerana, sehatry ny matematika izay mandalina ny fandaminana, ny fampiarahana ary ny fifantenana zavatra. Ny iray amin'ireo fitsipika fototry ny kombinatorika dia ny fitsipiky ny fampitomboana, izay milaza fa raha misy dingana maromaro amin'ny dingana iray ary ny dingana tsirairay dia manana isa safidy voafaritra, dia azo jerena amin'ny fampitomboana ny isan'ny safidy amin'ny dingana tsirairay ny fitambaran'ny fandaminana azo atao.
Ohatra, raha manana dingana roa isika izay ahitana safidy \(m\) ny dingana voalohany ary safidy \(n\) ny dingana faharoa, dia ny isan'ny fandaminana azo atao rehetra dia \(m \times n\).
Andeha isika hampihatra ity hevitra ity mba hamahana olana sasany.
Ohatra 1: Fandaminana boky eo amin'ny talantalana
Fanontaniana:
Misy boky 5 samihafa sy talantalana misy toerana 5 hofenoina. Firy ny fomba ahafahana mandamina ireo boky dimy eo amin'ny talantalana?
Dinika:
Amin'ity tranga ity, mila mandamina ireo boky dimy amin'ny toerana dimy samihafa isika. Olana momba ny fanovana toerana ity satria tena ilaina ny filaharana. Afaka mampiasa ny fitsipika famenoana toerana na ny fitsipika fampitomboana isika hamahana ity olana ity.
1. Ho an'ny efitrano voalohany, manana safidy boky 5 isika.
2. Rehefa tafapetraka ao amin'ny efitrano voalohany ny boky iray, dia mbola misy safidy boky 4 ho an'ny efitrano faharoa.
3. Ho an'ny efitrano fahatelo, manana safidy boky 3 sisa isika, sy ny sisa.
Ny raikipohy ho an'ny isan'ny fikirana rehetra dia:
\[ 5 \in 4 \in 3 \in 2 \in 1 = 5! = 120 \]
Koa misy fomba 120 handaminana ireo boky dimy.
Ohatra 2: Famoronana teny avy amin'ny litera samihafa
Fanontaniana:
Firy ny teny samihafa azo foronina amin'ny fampiasana ireo litera rehetra ao amin'ny teny hoe "MATEMATIKA", nefa tsy averimberina?
Dinika:
Mila jerentsika aloha hoe firy ny litera ao amin'ny teny hoe "MATHEMATICS". Misy litera 11, ary ny sasany amin'izy ireo dia miverimberina. Ireto avy ireo litera miverimberina:
- M hatramin'ny 2
- A hatramin'ny 3
- T hatramin'ny 2
– Miseho indray mandeha avy ireo litera hafa (E, I, K).
Mampiasa ny raikipohy permutation ho an'ny singa miverimberina isika, izany hoe:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
izay \(n \) ny isan'ny singa rehetra (litera) ary \(n_1, n_2, \ldots, n_k \) ny isan'ny famerimberenan'ny singa tsirairay.
Miaraka amin'ny teny hoe "MATEMATIKA":
n = 11, n_1 = 2 (M)}, n_2 = 3 (A)}, n_3 = 2 (T)}, n_4 = 1 (E)}, n_5 = 1 (I)}, n_6 = 1 (K)}
Koa ny isan'ny teny azo foronina dia:
\[ \frac{11!}{2! \in-3! \in-2! \in-1! \in-1! \in-1!} = \frac{39916800}{2 \in-6 \in-2 \in-1 \in-1 \in-1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Misy teny samihafa miisa 1,663,200 azo foronina.
Ohatra 3: Famaritana ny isan'ny fitambarana ao amin'ny Martabak
Fanontaniana:
Manolotra safidy famenoana dimy (fromazy, sôkôla, voanjo, akondro ary voaloboka maina) ny mpivarotra martabak iray. Raha te hisafidy telo amin'ireo famenoana dimy ho an'ny martabak-ny ny mpanjifa iray, firy ny fitambarana samihafa azony safidiana?
Dinika:
Olana fampiarahana ity, fa tsy permutation, satria tsy zava-dehibe ny filaharana. Mampiasa ny raikipohy fampiarahana isika:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
izay \(n \) ny fitambaran'ny safidy rehetra, ary \(k \) ny isan'ny safidy natao.
Ho an'ity tranga ity, \( n = 5 \) sy \( k = 3 \), ka:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \in 2!} = \frac{120}{6 \in 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Misy fitambarana 10 samihafa ahafahana misafidy votoaty 3 amin'ny safidy 5.
Ohatra 4: Fandaminan'ny mpandray anjara amin'ny lalao
Fanontaniana:
Misy mpandray anjara 8 amin'ny hazakazaka iray. Firy ny fomba ahafahana mametraka ireo 3 voalohany?
Dinika:
Olana momba ny fanovana endrika tsy misy famerimberenana ity satria ny toerana dia midika fa zava-dehibe ny filaharana. Mampiasa ny raikipohy fanovana endrika isika:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Ho an'ity tranga ity, \( n = 8 \) sy \( k = 3 \), dia:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Koa misy fomba 336 hametrahana ny toerana telo voalohany amin'ny mpandray anjara 8.
Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia noresahintsika ny ohatra maromaro amin'ny olana sy ny vahaolana amin'izany amin'ny fampiasana fitsipika famenoana toerana amin'ny toe-javatra isan-karazany: manomboka amin'ny fandaminana boky eo amin'ny talantalana ka hatramin'ny famaritana ny mpandresy amin'ny fifaninanana. Ny fahatakarana ireo fototra ireo dia hanome anao fahatokisana bebe kokoa amin'ny famahana ireo olana isan-karazany momba ny combinatorika sy ny mety ho vitanao.
