Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny fampiharana ny derivatives amin'ny sehatra samihafa amin'ny siansa
Pendahuan
Ny derivative dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy izay misy fampiharana maro amin'ny sehatry ny siansa sy ny injeniera isan-karazany. Izy io dia mamaritra ny tahan'ny fiovan'ny asa iray ary azo ampiasaina hamantarana ny maxima sy minima, hamahana olana momba ny fanatsarana, ary handinihana ny fitomboana sy ny fihenan'ny rafitra iray. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hiresaka momba ny olana ohatra maromaro isika ary hiresaka momba ny fampiharana ny derivative amin'ny sehatry ny siansa isan-karazany, toy ny fizika, toekarena, biolojia ary injeniera.
1. Fizika: Ny hafainganana ho toy ny avy amin'ny hafainganam-pandeha
Ao amin'ny fizika, ny hafainganana dia ny derivative an'ny hafainganam-pandeha raha oharina amin'ny fotoana. Ohatra iray amin'ny olana amin'ity toe-javatra ity ny:
Ohatra amin'ny olana:
Mihetsika amin'ny tsipika mahitsy ny zavatra iray miaraka amin'ny fiasa toerana \(s(t) = 4t^3 – 3t^2 + 2t – 1\) metatra, izay amin'ny segondra ny \(t\). Fantaro ny hafainganam-pandeha sy ny hafainganan'ny zavatra amin'ny \(t = 2\) segondra.
Dinika:
Ny hafainganam-pandeha no derivative voalohany amin'ny toerana raha oharina amin'ny fotoana:
\[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(4t^3 – 3t^2 + 2t – 1) \]
v(t) = 12t^2 – 6t + 2
Ny hafainganam-pandeha no derivative voalohany amin'ny hafainganam-pandeha raha oharina amin'ny fotoana:
a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(12t^2 – 6t + 2)
\[ a(t) = 24t – 6 \]
Noho izany, ny hafainganam-pandeha amin'ny \(t = 2\) segondra dia:
v(2) = 12(2)^2 – 6(2) + 2 = 48 – 12 + 2 = 38 m/s
Ny hafainganam-pandeha amin'ny \(t = 2\) segondra dia:
a(2) = 24(2) – 6 = 48 – 6 = 42 m/s^2
2. Toekarena: Fanatsarana ny tombombarotra
Ao amin'ny toekarena, ny derivatives dia matetika ampiasaina hamaritana ny teboka ambony indrindra na ambany indrindra amin'ny tombombarotra na ny fandaniana. Ohatra iray amin'ny olana amin'ity toe-javatra ity ny:
Ohatra amin'ny olana:
Mamokatra entana manana tombony ny orinasa iray \(P(x) = -2x^2 + 12x – 20\), izay \(x\) ny isan'ny singa novokarina sy namidy. Firy ny singa tokony hovokarina mba hampitomboana ny tombony, ary inona no tombony ambony indrindra?
Dinika:
Mba hampitomboana ny tombombarotra, mila mahita ny derivative voalohany an'ny \(P(x)\) isika ary mahita ireo teboka manan-danja ao aminy.
P'(x) = \frac{d}{dt}(-2x^2 + 12x – 20)
P'(x) = -4x + 12
Tadiavo ny teboka mitsikera amin'ny famahana ny \(P'(x) = 0\):
\[ -4x + 12 = 0 \]
\[ x = 3 \]
Mila mahazo antoka isika fa ny \(x = 3\) dia teboka ambony indrindra amin'ny fampiasana ny derivative faharoa.
P”(x) = \frac{d}{dt}(-4x + 12)
\[ P”(x) = -4 \]
Koa satria \(P”(3) = -4 < 0\), dia mampiseho izany fa ny \(x = 3\) dia teboka ambony indrindra. Ny tombony ambony indrindra dia: \[ P(3) = -2(3)^2 + 12(3) - 20 \] \[ P(3) = -18 + 36 - 20 \] \[ P(3) = -2 \] Noho izany, ny isan'ny singa tsy maintsy vokarina mba hampitomboana ny tombony dia singa 3, ary ny tombony ambony indrindra dia -2. 3. Biolojia: Taham-pitomboan'ny Mponina Ao amin'ny biolojia, ny derivatives dia ampiasaina handinihana ny tahan'ny fitomboan'ny mponina. Ohatra iray amin'ny olana amin'ity toe-javatra ity dia: Ohatra iray amin'ny olana: Aoka hatao hoe ny haben'ny mponina amin'ny karazana iray dia omen'ny asa \(P(t) = 100e^{0.05t}\), izay \(t\) ny fotoana amin'ny taona. Tadiavo ny tahan'ny fitomboan'ny mponina amin'ny \(t = 10\). Vahaolana: Ny tahan'ny fitomboan'ny mponina dia derivative an'ny \(P(t)\) raha oharina amin'ny fotoana: \[ P'(t) = \frac{d}{dt}(100e^{0.05t}) \] \[ P'(t) = 100 \cdot 0.05e^{0.05t} \] \[ P'(t) = 5e^{0.05t} \] Ny tahan'ny fitomboan'ny mponina amin'ny \(t = 10\) dia: \[ P'(10) = 5e^{0.05(10)} \] \[ P'(10) = 5e^{0.5} \] Amin'ny fikajiana ny sandan'ny exponential an'ny \(e^{0.5}\) (eo amin'ny 1.64872 eo ho eo): \[ P'(10) \approx 5 \cdot 1.64872 \] \[ P'(10) \approx 8.2436 \] Noho izany, ny tahan'ny fitomboan'ny mponina amin'ny \(t = 10\) dia eo amin'ny 8.24 isan-taona eo ho eo. 4. Injeniera: Famolavolana tsara indrindra ny faribolana elektrika Amin'ny injeniera, indrindra fa ny injeniera elektrika, dia ampiasaina ny derivatives mba hanatsarana ny famolavolana ny faribolana. Ohatra iray amin'ny olana amin'ity toe-javatra ity dia: Ohatra amin'ny olana: Raha omena fiasa fanjifana herinaratra \(P(R) = V^2 / R + I^2 R\), izay \(V\) dia voltase tsy miova, \(I\) dia courant tsy miova, ary \(R\) dia fanoherana. Fantaro ny sandan'ny \(R\) izay mampihena ny fanjifana herinaratra. Vahaolana: Ny derivative voalohany amin'ny \(P(R)\) mifandraika amin'ny \(R\) dia: \[ P'(R) = \frac{d}{dR}\left(\frac{V^2}{R} + I^2 R\right) \] \[ P'(R) = -\frac{V^2}{R^2} + I^2 \] Mba hahitana ny sandan'ny \(R\) izay mampihena ny fanjifana herinaratra, dia hitantsika ny \(P'(R) = 0\): \[ -\frac{V^2}{R^2} + I^2 = 0 \] \[ \frac{V^2}{R^2} = I^2 \] \[ R^2 = \frac{V^2}{I^2} \] \[ R = \frac{V}{I} \] Noho izany, ny sandan'ny fanoherana \(R\) izay mampihena ny fanjifana herinaratra dia \(R = \frac{V}{I}\). Famaranana Avy amin'ireo ohatra etsy ambony, dia hitantsika ny fomba fampiharana ny foto-kevitry ny derivatives amin'ny sehatra siansa isan-karazany toy ny fizika, toekarena, biolojia ary injeniera. Ny fahatakarana lalina ny derivatives sy ny fampiharana azy ireo dia ahafahantsika mamaha olana sarotra isan-karazany ary manatsara ny rafitra amin'ny fiainana tena izy. Fitaovana famakafakana mahery vaika ny derivatives ary ilaina amin'ny fahatakarana ny dinamika sy ny fiovana amin'ny toe-javatra isan-karazany.
