Diskusijas jautājuma piemērs par algebriskās funkcijas atvasinājumu
Atvasinājums matemātiskajā analīzē ir pamatjēdziens, ko izmanto, lai aprakstītu, kā mainās funkcija vai funkcijas slīpums noteiktā punktā. Atvasinājumi ir noderīgi dažādās jomās, piemēram, fizikā, ekonomikā un inženierzinātnēs, jo tie sniedz informāciju par izmaiņu ātrumu. Šajā rakstā mēs apspriedīsim vairākus algebrisko funkciju atvasinājumu piemērus un to risināšanas veidus.
1. piemērs: Polinoma funkciju atvasinājums
Jautājums: Dota funkcija \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Nosakiet funkcijas atvasinājumu!
Risinājums:
Izmantojot polinomu funkciju atvasinājumu pamatnoteikumu, proti, \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), mēs aprēķināsim katra funkcijas locekļa atvasinājumu pa vienam.
\[
sākt{izlīdzināt }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= ∫\frac{d}{dx}(3x^3) – ∫\frac{d}{dx}(5x^2) + ∫\frac{d}{dx}(2x) – ∫\frac{d}{dx}(7)
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) & = 9x^2 – 10x + 2.
\end{align }
\]
Tātad, funkcijas f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 atvasinājums ir f'(x) = 9x^2 – 10x + 2).
2. piemērs: Funkcijas atvasinājums ar daļskaitļu eksponentiem
Jautājums: Nosakiet funkcijas atvasinājumu \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Risinājums:
Izmantojot to pašu atvasināšanas likumu, tas ir (\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
sākt{izlīdzināt }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= d(x^{3/2}) + d(x^{1/2})
g'(x) &= ∫(3/2)x^{(3/2)-1} + ∫(1/2)x^{(1/2)-1}
g'(x) &= ∫(3}{2}x^{1/2} + ∫(1}{2}x^{-1/2}).
\end{align }
\]
Tātad, atvasinājums no \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) ir \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
3. piemērs: Eksponenciālo un trigonometrisko funkciju atvasinājumi
Jautājums: Nosakiet funkcijas atvasinājumu (h(x) = e^x cdot sin(x)).
Risinājums:
Lai atrisinātu šo atvasinājumu, mums ir nepieciešams reizinājuma noteikums, kas nosaka \(uv)' = u'v + uv'\). Pieņemsim, ka \(u(x) = e^x \) un \(v(x) = \sin(x) \), tad:
\[
sākt{izlīdzināt }
u'(x) &= e^x, & \text{jo } e^x \text{ atvasinājums ir } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{jo } \sin(x) \text{ atvasinājums ir } \cos(x).
\end{align }
\]
Izmantojot atvasināto noteikumu produktiem:
\[
sākt{izlīdzināt }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x ∫(sin(x))' + ∫(x) ∫(e^x)'
&= e^x ∫cos(x) + ∫sin(x) ∫e^x
& = e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align }
\]
Tātad, funkcijas \(h(x) = e^x \sin(x) \) atvasinājums ir \(h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
4. piemērs: Funkcijas atvasinājums, izmantojot ķēdes likumu
Jautājums: Nosakiet funkcijas atvasinājumu \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Risinājums:
Lai atrisinātu šo atvasinājumu, mums ir nepieciešams ķēdes likums, proti, \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Pieņemsim, ka \(u(x) = 3x^2 – x + 4 \) un \(f(u) = u^5 \), tad:
\[
sākt{izlīdzināt }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) un = f(u(x)) = u^5
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align }
\]
Izmantojot ķēdes likumu:
\[
sākt{izlīdzināt }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
& = 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align }
\]
Tātad, funkcijas \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) atvasinājums ir \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
5. piemērs: Funkcijas ar trigonometriskām identitātēm atvasinājums
Jautājums: Nosakiet funkcijas atvasinājumu (m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)).
Risinājums:
Produktiem izmantosim atvasinājuma likumu. Pieņemsim, ka u(x) = sin(x) un v(x) = cos(x)), tad:
\[
sākt{izlīdzināt }
u'(x) &= ∫cos(x),
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align }
\]
Izmantojot atvasināto noteikumu produktiem:
\[
sākt{izlīdzināt }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' ⋅ ...
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
& = ∫cos^2(x) – ∫sin^2(x).
\end{align }
\]
Izmantojot trigonometrisko identitāti (cos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x)):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Tātad, \(m(x) = \\sin(x) \\cos(x) \\) atvasinājums ir \(m'(x) = \\cos(2x) \).
Secinājums
Algebriskās funkcijas atvasinājums ir fundamentāls matemātikas jēdziens, kas ir ļoti svarīgs un noderīgs dažādos pielietojumos. Dažādi atvasināšanas noteikumi, piemēram, pamata atvasinājuma likums, reizinājuma likums, ķēdes likums un trigonometrisko atvasinājumu noteikumi, palīdz aprēķināt sarežģītāku funkciju atvasinājumus. Izprotot iepriekš minētos piemērus un praktizējot uzdevumus, mēs varam uzlabot savu izpratni un prasmes algebrisko funkciju atvasinājumu iegūšanā.
